Preuve sous espace vectoriel
Bonjour,
J'ai un petit exercice avec lequel je suis bloqué, pourriez vous m'orientez un peu?
L'exercice est le suivant:
Soit V un sous-ensemble de C[-pi,pi] (ensemble des fonctions continues de -pi à pi) contenant :
{1,cos(x),cos(2x),...,cos(nx), ...,sin(x),sin(2x),...sin(nx), ....}
Montrer que V est un sous espace vectoriel de C[-pi,pi]
Merci beaucoup de votre aide par avance.
Bonjour.
Tu es sûr de cet énoncé ?
Car si V ne contient que les fonctions énumérées, il contient cos(x)+cos(2x) qui vaut 2 pour x=0 donc n'est aucune des fonctions de V.
Je soupçonne que tu n'as pas copié correctement l'énoncé.
Cordialement.
Bonjour,
Merci de la réponse, l'exercice original est en anglais, je le joint en piece jointe
Cordialement
Edit l'annoncé devrait être :
Soit V un sous-ensemble de C[-pi,pi] (ensemble des fonctions continues de -pi à pi) contenant toutes les combinaisons linéaires de ces fonctions:
1,cos(x),cos(2x),...,cos(nx), ...,sin(x),sin(2x),...sin(nx), ....
Montrer que V est un sous espace vectoriel de C[-pi,pi]
Envoyé par poiuy281
Bonjour,
J'ai un petit exercice avec lequel je suis bloqué, pourriez vous m'orientez un peu?
L'exercice est le suivant:
Soit V un sous-ensemble de C[-pi,pi] (ensemble des fonctions continues de -pi à pi) contenant :
{1,cos(x),cos(2x),...,cos(nx), ...,sin(x),sin(2x),...sin(nx), ....}
Montrer que V est un sous espace vectoriel de C[-pi,pi]
Merci beaucoup de votre aide par avance.
C'étaient les mots importants ...
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
effectivement "combinaisons linéaires" était indispensable au départ.
pour la démo, revenir à la définition avec les lois de composition interne ( "addition" ) et externe à gauche à minima (multiplication par un scalaire )
A moins que tu aies déjà vu la notion de sous-espace vectoriel engendré, auquel cas c'est une théorème de cours.
Sans cela, deux méthodes classiques :
Montrer que c'est un sous-espace vectoriel de (C[-pi,pi],+,.) ce qui sera rapide (juste bien penser que les combinaisons linéaires sont des sommes finies et que deux combinaisons linéaires n'utilisent pas nécessairement les mêmes fonctions de l'ensemble)
Ou, si tu n'as pas encore vu les sous-espaces, utiliser la définition : lois bien définies puis les axiomes, soit au total 10 vérifications.
Bon travail !
Il me semble qu'il n'y a rien à montrer : le plus petit ensemble qui contient toutes les combinaisons linéaires de n'importe quelle famille de vecteurs est toujours un sous-espace vectoriel.
Effectivement, si on a fait un cours complet sur les espaces vectoriels. C'est d'ailleurs ce que je disais. Mais si on commence ce cours, on n'a pas nécessairement ce théorème, même pas, éventuellement, la notion de sous-espace.
Cordialement.
Bin, si on demande de montrer que .... c'est forcement que la définition a été vue, non ?
Effectivement la notion de sous-espace engendré n'a pas dû être vue. En tout cas dans la démonstration, il n'y a pas à s'embarrasser avec des cosinus et des sinus, il suffit de prendre une suite de vecteurs quelconques v0,v1,v2,... et montrer que l'ensemble des combinaisons linéaires de ces vecteurs est un sous-espace vectoriel.
Effectivement, Ansset,
on peut penser que Poiuy a vu les méthodes pour prouver qu'une partie est un SEV.
En attendant, on n'a pas eu de retour de sa part ...
Cordialement.
