Developpement limité ordre 2

[invite19c7e272]

Bonsoir , j'essaie de faire cette exercice mais je crois que je me suis perdu dans les calculs et je ne comprends pas..
Consigne : Déterminer le DL(0) à l'ordre 2 de f : f(x) = [ln(1+x)] / [(e^2x - 1)]
Ce que j'ai fait :
Le developpement limité de ln(1+x) : x - (x^2/2) + o(x^2)
celui de e^2x : 1 + 2x + [ (2x)^2/2 ] + o(x^2)
J'ai ensuite associer : x - (x^2/2) + o(x^2) * [1/ [ 1 + 2x + [ (2x)^2/2 ] + o(x^2) ] ]
= [ x - x^2/2 + o(x^2) ] / [ 2x + 2x^2 +o(x^2) ]
Apres avoir reduit et developpé j'ai = (2x - x^2) / (4x + 4x^2) + o(x^2)

Je doute que cela soit bon car apres je dois etudier la limite , tangente , position.

J'ai voulu faire faire pour e^2x un dl du type 1/1+x avec x = e^2x mais je n'y arrive pas.

Est ce que quelqu'un sait comment faire pour tomber sur le bon DL à la fin ?

Merci
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[gg0]

Bonjour.

Comme ln(1+x) et (e^2x - 1) sont tous deux équivalents à x (à un facteur près), il va falloir simplifier par x pour pouvoir diviser. Donc partir avec des DL d'ordre 3 :

Les on été aussi simplifiés.
Maintenant, le dénominateur D ne s'annulant pas, on peut diviser (par puissances croissantes). Si tu n'as pas vu ça en cours, il va falloir trouver un DL de 1/D pour multiplier. Et à l'ordre 2 :

avec
Donc pour avoir un DL d'ordre 2 en x, il faut un DL d'ordre 2 en u :


Voilà, je te laisse raccorder les morceaux si tu ne sais pas diviser et finir le travail.

Cordialement.