Produit de polynômes.

[DavianThule95]

Bonjour,

J'ai beau cherché, que ce soit par moi-même ou sur internet, je n'arrive pas à trouver de démonstration compréhensible du résultat suivant :



Qui correspond finalement à la formule du produit de deux polynômes, où l'on considère les a_i et b_j nuls si i>n ou j>m.

Pourriez-vous m'aidez ? Plus précisément, je ne comprends pas le passage de :


à :




Où delta est la fonction qui à 0 associe 1, et associe 0 pour tout x différent de 0.

Merci d'avance ! (PS:Je suis niveau MPSI)
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[invite9dc7b526]

bonjour,

le résultat que tu veux démontrer est une trivialité, il s'agit juste de regrouper les termes de même degré. Ensuite la première triple somme que tu écris n'a pas beaucoup de sens puisque tu sommes sur l'indice k mais ensuite il n'y a pas de k.

[DavianThule95]

Effectivement, pour la première triple somme, en fait il s'agit juste d'une double somme, c'est une faute d'écriture de ma part.
Vous dites que le résultat que je veux démontrer est une trivialité. Mais c'est justement tout l'intérêt de la question. Le démontrer "à l'oral", en disant qu'il faut regrouper les termes de même degré, c'est effectivement ce qu'il faut faire formellement.

Je pose la question sur un forum dédié au maths dans le but d'avoir une réponse formelle.

Cordialement,
Davianthule95

[invite9dc7b526]

en fait on définit parfois le produit de deux polynômes par la formule en question, et il faut alors montrer qu'on a toutes les propriétés d'un produit (et que l'ensemble des polynômes sur un certain anneau est bien un anneau lui-même).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

ben pour la première il ne s'agit que du développement A(x)B(x).
( les ai sont distribués sur tous les bj )
ps: il doit y avoir une autre faute de frappe, le degré du second polynôme doit être m et non n.

[gg0]

Bonjour DT95.

Peux-tu réécrire les formules qui t'intéressent en rectifiant les erreurs de frappe, qu'on puisse parler de formules correctes ? Pour l'instant, on peut difficilement t'aider, le égalités sont fausses.

Cordialement.

[DavianThule95]

Ok alors j'ai réfléchis au problème dans l'après-midi, voilà la démonstration à laquelle je suis arrivé.
Par soucis de clarté, on posera :



On a :



Posons alors la fonction qui vaut 1 si son argument vaut 0, et 0 dans tous les autres cas.
Alors on a :



Pour s'en convaincre, il faut remarquer que uniquement quand , et vaut dans tous les autres cas. Or n'est vrai qu'une fois dans toute la somme (puisque est constant), donc la somme vaut .
On peut alors réarranger la somme :



Or, on peut remarquer que :



Car uniquement pour . Tous les autres termes valent . On a donc :



On peut séparer la somme en deux :



Or , n'existe pas. Donc :



Et en renommant (même si cela ne change rien à la preuve), on retrouve bien le résultat cherché :

[raymolk]

Mais ton égalité de départ est fausse : dans le membre de droite, si tu sommes de r=0 à n+m, puis de k=0 à r, tu te retrouves avec (entre autres) le terme a_n+mb₀x^n+m.
C'est quoi a_n+m ?

[raymolk]

Ah désolé, je n'avais pas vu « où l'on considère les a_i et b_j nuls si i>n ou j>m » dans le premier message !
À ce moment-là c'est juste, mais une manière plus simple et propre de le prouver, c'est de procéder par récurrence sur N=n+m.

[jacknicklaus]

isolons le terme en r = 0 et i = n. Que vaut b_(-n) ?

[DavianThule95]

Merci à tous pour vos réponses !

J'ai fini par comprendre et réussir la démonstration