Produit scalaire, intégrale et polynômes

[invite8fabde6c]

Bonjour tout le monde,
Alors voilà un problème plus compliqué que je ne le pensais :
on définit l'application :
On doit montrer que c'est un produit scalaire. Evidement le seul point épineux c'est le côté défini-positif, je ne vois pas de quelle manière on peut aborder le problème astucieusement

Merci d'avance pour les futures réponses
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[Crossfire]

Tout d'abord, j'imagine que tu manipules des fonctions polynomiales (donc de classes C infini sur R donc sur [0;1] ...). Le caractère positif est évident. Passons au caractère défini.

Si <P,P>=0 alors tu as 2 réels positifs dont la somme est nulle. C'est que chacun des 2 réels est nul. Tu appliques à l'un des termes un théorème classique sur les intégrales ((P')² est continue et positive sur [0;1] ...). Tu obtiens que P est une constante. Tu conclus grâce à l'autre terme nul qui te dit que P s'annule en 0 ou en 1.

[invite8fabde6c]

Ben justement c'est au niveau du positif que je coince, si on a pourquoi on a pourtant <P|P> positif (c'est juste sur ce point que j'aurais besoin de l'aide, mais merci quand même pour la suite ^^)

[Thorin]

Salut,

tu peux par exemple utiliser cauchy schwarz.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8fabde6c]

Oui j'y ai pensé, mais l'inégalité sur les intégrales ne me donnent rien,

[Thorin]

Dans quel sens l'as tu utilisé ?

[invite8fabde6c]

Alors je suis parti de ça :

[Thorin]

C'est Cauchy Schwarz, ça ??

[invite8fabde6c]

euh j'ai oublié des carrés à l'intérieur des intégrales du coté droit de l'inégalité : Mais à ta réponse je pars de la mauvaise inégalité, nan ?

[Thorin]

Bon, là c'est bien cauchy schwarz, mais l'astuce est de l'utiliser dans l'autre sens :

[invite8fabde6c]

Ouf, ça y est je vois la fin du problème. Merci bien pour le coup de main, comme quoi on peut utiliser le bon truc mais pas savoir l'exploiter comme il faut