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produit scalaire



  1. #1
    juju85180

    produit scalaire


    ------

    (1)on me demande de démontrer que l'intersection des plans (P) et (Q) est une droite (D) dont une représentration paramétrique est :
    x=-2+t
    y=3
    z=t
    avec t E R
    (P)+2y-z-4=0
    (Q): 2x+3y-2z-5=0

    mais je narrive pas à commence pouvez vous m'aidez svp ?


    2) on me demande aussi de déterminer la distance du point A à la droite (D) mais je narrive jamais à savoir comment je dois faire, pouvez-vous maidez s'il vous plait ?

    -----

  2. #2
    silk78

    Re : produit scalaire

    1) Soit M(x,y,z) un point de l'intersection entre P et Q. Quelles formules vérifient x, y et z ? Exprime alors x et y en fonction de z. Tu choisis z lui-même comme paramètre et tu trouves le paramétrage en question.

    2) Connais tu la définition de la distance d'un point à une droite ?
    Si on nomme H le projeté orthogonal de A sur (D), comment peux-tu exprimer cette distance ?

  3. #3
    juju85180

    Re : produit scalaire

    Citation Envoyé par silk78 Voir le message
    1) Soit M(x,y,z) un point de l'intersection entre P et Q. Quelles formules vérifient x, y et z ? Exprime alors x et y en fonction de z. Tu choisis z lui-même comme paramètre et tu trouves le paramétrage en question.

    2) Connais tu la définition de la distance d'un point à une droite ?
    Si on nomme H le projeté orthogonal de A sur (D), comment peux-tu exprimer cette distance ?
    1) c est ax+by+cz+d=0
    2)c 'est axA+bYB+cZC/a+b+c avec a+b+c différent de 0

  4. #4
    silk78

    Re : produit scalaire

    1) J'avoue ne pas avoir bien compris ce que tu cherches à dire là.
    ax+by+cz+d=0 est l'équation générale d'un plan. Ici, on s'intéresse à 2 plans, qui ont des équations connues. Si M est dans l'intersection dee P et Q c'est qu'il appartient à P et à Q, donc il respecte les deux équations de P et de Q.
    Est-ce que tu vois ce que je veux dire ?

    2) La encore, ta formule ressemble à celle de la distance d'un point à un plan et non une droite. Et je dis bien ressemble car la vrai formule serait (axA+bYB+cZC)/racine(a²+b²+c²).
    Sinon, avec le point H projeté orthogonal de A sur (D), est-ce que tu vois comment exprimer ta distance ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Cherchell

    Re : produit scalaire

    Tu as si j'ai bien compris la droite définie paramétriquement par
    x=-2+t ; y=3 ; z=t avec t E R
    et tu dois démontrer que c'est l'intersection des plans (P) et (Q)

    Personnellement, je choisirais deux valeurs différentes de t ce qui me permettrait d'avoir deux points distincts A et B de la droite et je montrerais que ces deux points appartiennent à la fois aux plans (P) et (Q). Ces deux plans étant non parallèles, ils se coupent suivant la droite (AB)

    Par exemple si t = 0 alors A a pour coordonnées (- 2 ; 3 ; 0)
    Par exemple si t = 2 alors A a pour coordonnées (0 ; 3 ; 2)
    Tu vérifies que - 2 + 2*3 - 0 - 4 = 0 donc A appartient à (P)
    et que 2*(- 2) + 3*3 - 2*0 - 5 = 0 donc A appartient à (Q)
    tu recommences avec B.

    Si le texte ne t'avait pas donné une équation paramétrique de (D) et te la demandait.
    Les deux plans étant non parallèles, ils se coupent suivant une droite.
    Tu cherches le point d'abscisse 0 de cette droite :
    donc tu résouds le système
    x = 0 ; x + 2 y - z - 4 = 0 ; et 2 x + 3 y - 2 z - 5 = 0
    ce qui te donnes en remplaçant :
    2 y - z = 4 et 3 y - 2 z = 5 donc y = 3 et z = 2
    Soit le point B (0 ; 3 ; 2)

    tu recommences avec le point de cote 0
    donc tu résouds le système
    z = 0 ; x + 2 y - z - 4 = 0 ; et 2 x + 3 y - 2 z - 5 = 0
    ce qui te donnes en remplaçant :
    x + 2 y = 4 et 2 x + 3 y = 5 donc y = 3 et x = - 2
    Soit le point A (- 2 ; 3 ; 0)
    Tu as deux points de la droite donc un vecteur directeur de cette droite le vecteur AB.
    avec un point et un vecteur directeur tu peux trouver une représentation paramétrique de la droite

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