produit scalaire

invite105fa62e · 08/05/2009, 22h05

je trouve:
Démontrer que Démontrer que MA^2+MC^2=MB^2+MD^2

MA^2=(MO>+OA>)^2=MO^+OA^2+2(MO >+OA>)
MC^2=(MO>+OC>)^2=MO^2+OC^2+2(M O>.OC>)
MB^2=(MO>+OB>)^2=MO^2+OB^2+2(M O>.OB>)
MD^2=(MO>+OD>)^2=MO^2+OD^2+2(M O>.OD>)

Or OA^2=OB^2=OC^2=OD^2 (demie diagonale au carré du rectangle)

Il faut donc démontrer que:

2(MO>+OA>)+2(MO>.OC>)=2(MO>.OB >)+2(MO>.OD>) soit encore:

MO>.(OA>+OC>)=MO>.(OB>+OC>)

Cette égalité est vraie puisque:

(OA>+OC>)=(OB>+OD>)=0>

pour la suit j'ai du mal pouvez-vous m'aider svp

**tuan** · 08/05/2009, 23h06

Envoyé par gidia

je trouve:
Démontrer que Démontrer que MA^2+MC^2=MB^2+MD^2

MA^2=(MO>+OA>)^2=MO^2+OA^2+2(M O>.OA>)
MC^2=(MO>+OC>)^2=MO^2+OC^2+2(M O>.OC>)
MB^2=(MO>+OB>)^2=MO^2+OB^2+2(M O>.OB>)
MD^2=(MO>+OD>)^2=MO^2+OD^2+2(M O>.OD>)

Or OA^2=OB^2=OC^2=OD^2 (demie diagonale au carré du rectangle)

Il faut donc démontrer que:

2(MO>+OA>)+2(MO>.OC>)=2(MO>.OB >)+2(MO>.OD>) soit encore:

MO>.(OA>+OC>)=MO>.(OB>+OC>)

Cette égalité est vraie puisque:

(OA>+OC>)=(OB>+OD>)=0>

pour la suit j'ai du mal pouvez-vous m'aider svp

Salut,
J'ai corrigé les erreurs de frappe de la 1e expression (en rouge)...
J'ai supposé que ABCD était un rectangle, O son centre et M un point quelconque..

La suite est simple...

En additionnant les 2 lignes en rouge et en notant que
2(MO>.OA>) +2(MO>.OC>) = 2 MO>.(OA>+OC>) = 0
on obtient ... MA^2+MC^2 = 2 MO² +2r²

De même, en additionnant les 2 lignes en bleu, on obtient ... MB^2+MD^2 = 2 MO² +2r²
(r = demi-diagonale)
Donc MA^2+MC^2=MB^2+MD^2

invite105fa62e · 09/05/2009, 16h17

Merci
Désolé, voici le sujet:
Quatre points A, B, C, D sont disposés dans le plan de façon a former un rectangle (quand on
les prend dans cet ordre).
Si M est un point quelconque du plan, montrer que :
MA^2+MC^2=MB^2+MD^2 et que les vecteurs MB>.CD> + MC>.DB>+MD>.BC> = 0
[Indication : Si O est le centre du rectangle, on pourra remplacer tous les vecteurs par des
sommes ou des differences de vecteurs ayant O pour origine.]

Je n'arrive pas à faire la deuxième démonstration

invite105fa62e · 10/05/2009, 01h26

pour la seconde demonstration j'ai essayé de bricoler avec la relation de Chasles, avec l'idée de finir avec le produit de deux vecteurs orthogonaux.

MB>.CD>+MC>.DB> +MD>.BC>=(MC> +CB>).CD> +MC>.DB>+ MD>.BC>=

MC>.CD> +MC>.DB>+MD>.BC> ,(car CB>.CD>=0)

=MC>.(CD>+DB>)+MD>.BC>=MC>.CB> +MD>.BC> =(MC>-MD>).CB>=DC>.CB>

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**tuan** · 10/05/2009, 09h23

Salut,
J'avoue ne pas bien comprendre ton problème : quelle première démonstration ? quelle seconde démonstration ?

Ici, il s'agit de démontrer que MA²+MC²=MB²+MD²
Pour cela, on exploite ces propriétés suivantes (en gras=vecteur):
- produit scalaire de a par a lui-même : a² = a.a
- relation de Chasles : MA = MO +OA (pour A et aussi pour B,C et D)
- les produits scalaires de 2 vecteurs "égaux et opposés" par un même 3e vecteur sont opposés
- la demi-diagonale = r =OA =OB =OC =OD (... longueurs)

Mon message #2 n'a pas été assez clair ?
Je précise que OA et OC sont colinéaires, sont de même module et sont opposés (que par abus on dit "égaux et opposés"). Alors
MO.OA + MO.OC = MO.(OA+OC) = MO. 0 = 0
De même
MO.OB + MO.OD = 0

Que dire de plus ?

**tuan** · 10/05/2009, 09h57

OK, j'ai relu ton message ... il y a une 2e question cachée, au temps pour moi.

L'expression à prouver est une propriété générale dans un quadrilatère (MBCD ici) on a pas besoin de la perpendicularité des vecteurs
MB.CD +MC.DB +MD.BC = ?

Je modifie le 2e terme
MC.DB = (MB+BC).(DM+MB) =
MB.DM +MB.MB +BC.DM +BC.MB =

MB.(DM+MB+BC) +BC.DM =
MB.DC +BC.DM

L'expression initiale devient
MB.CD +MB.DC +BC.DM +MD.BC = 0

EDIT : l'idée est de remplacer les "vecteurs-diagonales" par des sommes des "vecteurs-côtés" du quadrilatère.

invite105fa62e · 10/05/2009, 11h45

merci pour l'aide

invite105fa62e · 10/05/2009, 12h35

je ne comprends pas pour la 2e question

**tuan** · 10/05/2009, 13h00

Envoyé par gidia

je ne comprends pas pour la 2e question

Précise ton problème

invite105fa62e · 10/05/2009, 13h27

pour la seconde demonstration j'ai bricoler avec la relation de Chasles, avec l'idée de finir avec le produit de deux vecteurs orthogonaux.

MB>.CD> +MC>.DB> +MD>.BC>=(MC> +CB>).CD> +MC>.DB>+ MD>.BC>=

MC>.CD> +MC>.DB> +MD>.BC> ,(car CB>.CD>=0

=MC>.(CD>+DB>)+MD>.BC>=MC>.CB> +MD>.BC>=(MC>-MD>).CB>=DC>.CB>

invite105fa62e · 10/05/2009, 13h39

où
le membre de gauche peut s'écrire :

(MO>+OB>). CD>+ (MO>+OC>). DB>+(MO>+OD>). BC>

MO>.(CD>+ DB>+ BC>)+OB>. CD>+OC>.(DC>+ CB>)+ OD>. BC>

le second facteur du premier terme est nul

**tuan** · 10/05/2009, 13h50

J'ai précisé dans mon message #6 que l'expression à prouver était une propriété que possédait tout quadrilatère quelconque... Il ne te faut pas d'exploiter la perpendicularité des vecteurs...Et justement quand tu as supprimé un produit scalaire nul (messages #4 et #10) tu as créé un blocage pour la suite...
Quant à ton message #11... je ne l'ai pas lu car c'est une erreur de faire intervenir le point O.
Relis mon message #6 et dis-moi ce qui n'est pas clair.

invite105fa62e · 10/05/2009, 14h28

Mb.cd +mb.dc +bc.dm +md.bc=
mb.(cd+dc)+bc.(dm+md)=0

**tuan** · 10/05/2009, 14h31

Envoyé par gidia

Mb.cd +mb.dc +bc.dm +md.bc=
mb.(cd+dc)+bc.(dm+md)=0

mais oui, les sommes en rouge sont nulles !
cd + dc = cc = 0 (Chasles... si tu veux)

produit scalaire