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produit scalaire



  1. #1
    gidia

    produit scalaire


    ------

    je trouve:
    Démontrer que Démontrer que MA^2+MC^2=MB^2+MD^2

    MA^2=(MO>+OA>)^2=MO^+OA^2+2(MO >+OA>)
    MC^2=(MO>+OC>)^2=MO^2+OC^2+2(M O>.OC>)
    MB^2=(MO>+OB>)^2=MO^2+OB^2+2(M O>.OB>)
    MD^2=(MO>+OD>)^2=MO^2+OD^2+2(M O>.OD>)

    Or OA^2=OB^2=OC^2=OD^2 (demie diagonale au carré du rectangle)

    Il faut donc démontrer que:

    2(MO>+OA>)+2(MO>.OC>)=2(MO>.OB >)+2(MO>.OD>) soit encore:

    MO>.(OA>+OC>)=MO>.(OB>+OC>)

    Cette égalité est vraie puisque:

    (OA>+OC>)=(OB>+OD>)=0>

    pour la suit j'ai du mal pouvez-vous m'aider svp

    -----

  2. #2
    tuan

    Re : produit scalaire

    Citation Envoyé par gidia Voir le message
    je trouve:
    Démontrer que Démontrer que MA^2+MC^2=MB^2+MD^2

    MA^2=(MO>+OA>)^2=MO^2+OA^2+2(M O>.OA>)
    MC^2=(MO>+OC>)^2=MO^2+OC^2+2(M O>.OC>)

    MB^2=(MO>+OB>)^2=MO^2+OB^2+2(M O>.OB>)
    MD^2=(MO>+OD>)^2=MO^2+OD^2+2(M O>.OD>)


    Or OA^2=OB^2=OC^2=OD^2 (demie diagonale au carré du rectangle)

    Il faut donc démontrer que:

    2(MO>+OA>)+2(MO>.OC>)=2(MO>.OB >)+2(MO>.OD>) soit encore:

    MO>.(OA>+OC>)=MO>.(OB>+OC>)

    Cette égalité est vraie puisque:

    (OA>+OC>)=(OB>+OD>)=0>

    pour la suit j'ai du mal pouvez-vous m'aider svp
    Salut,
    J'ai corrigé les erreurs de frappe de la 1e expression (en rouge)...
    J'ai supposé que ABCD était un rectangle, O son centre et M un point quelconque..

    La suite est simple...

    En additionnant les 2 lignes en rouge et en notant que
    2(MO>.OA>) +2(MO>.OC>) = 2 MO>.(OA>+OC>) = 0
    on obtient ... MA^2+MC^2 = 2 MO2 +2r2

    De même, en additionnant les 2 lignes en bleu, on obtient ... MB^2+MD^2 = 2 MO2 +2r2
    (r = demi-diagonale)
    Donc MA^2+MC^2=MB^2+MD^2

  3. #3
    gidia

    Re : produit scalaire

    Merci
    Désolé, voici le sujet:
    Quatre points A, B, C, D sont disposés dans le plan de façon a former un rectangle (quand on
    les prend dans cet ordre).
    Si M est un point quelconque du plan, montrer que :
    MA^2+MC^2=MB^2+MD^2 et que les vecteurs MB>.CD> + MC>.DB>+MD>.BC> = 0
    [Indication : Si O est le centre du rectangle, on pourra remplacer tous les vecteurs par des
    sommes ou des di fferences de vecteurs ayant O pour origine.]

    Je n'arrive pas à faire la deuxième démonstration

  4. #4
    gidia

    Re : produit scalaire

    pour la seconde demonstration j'ai essayé de bricoler avec la relation de Chasles, avec l'idée de finir avec le produit de deux vecteurs orthogonaux.

    MB>.CD>+MC>.DB> +MD>.BC>=(MC> +CB>).CD> +MC>.DB>+ MD>.BC>=

    MC>.CD> +MC>.DB>+MD>.BC> ,(car CB>.CD>=0)

    =MC>.(CD>+DB>)+MD>.BC>=MC>.CB> +MD>.BC> =(MC>-MD>).CB>=DC>.CB>

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    tuan

    Re : produit scalaire

    Salut,
    J'avoue ne pas bien comprendre ton problème : quelle première démonstration ? quelle seconde démonstration ?

    Ici, il s'agit de démontrer que MA2+MC2=MB2+MD2
    Pour cela, on exploite ces propriétés suivantes (en gras=vecteur):
    - produit scalaire de a par a lui-même : a2 = a.a
    - relation de Chasles : MA = MO +OA (pour A et aussi pour B,C et D)
    - les produits scalaires de 2 vecteurs "égaux et opposés" par un même 3e vecteur sont opposés
    - la demi-diagonale = r =OA =OB =OC =OD (... longueurs)

    Mon message #2 n'a pas été assez clair ?
    Je précise que OA et OC sont colinéaires, sont de même module et sont opposés (que par abus on dit "égaux et opposés"). Alors
    MO.OA + MO.OC = MO.(OA+OC) = MO. 0 = 0
    De même
    MO.OB + MO.OD = 0

    Que dire de plus ?

  7. #6
    tuan

    Re : produit scalaire

    OK, j'ai relu ton message ... il y a une 2e question cachée, au temps pour moi.

    L'expression à prouver est une propriété générale dans un quadrilatère (MBCD ici) on a pas besoin de la perpendicularité des vecteurs
    MB.CD +MC.DB +MD.BC = ?

    Je modifie le 2e terme
    MC.DB = (MB+BC).(DM+MB) =
    MB.DM +MB.MB +BC.DM +BC.MB =

    MB.(DM+MB+BC) +BC.DM =
    MB.DC +BC.DM

    L'expression initiale devient
    MB.CD +MB.DC +BC.DM +MD.BC = 0

    EDIT : l'idée est de remplacer les "vecteurs-diagonales" par des sommes des "vecteurs-côtés" du quadrilatère.
    Dernière modification par tuan ; 10/05/2009 à 10h01.

  8. #7
    gidia

    Re : produit scalaire

    merci pour l'aide

  9. #8
    gidia

    Re : produit scalaire

    je ne comprends pas pour la 2e question

  10. #9
    tuan

    Re : produit scalaire

    Citation Envoyé par gidia Voir le message
    je ne comprends pas pour la 2e question
    Précise ton problème

  11. #10
    gidia

    Re : produit scalaire

    pour la seconde demonstration j'ai bricoler avec la relation de Chasles, avec l'idée de finir avec le produit de deux vecteurs orthogonaux.

    MB>.CD> +MC>.DB> +MD>.BC>=(MC> +CB>).CD> +MC>.DB>+ MD>.BC>=

    MC>.CD> +MC>.DB> +MD>.BC> ,(car CB>.CD>=0

    =MC>.(CD>+DB>)+MD>.BC>=MC>.CB> +MD>.BC>=(MC>-MD>).CB>=DC>.CB>

  12. #11
    gidia

    Re : produit scalaire


    le membre de gauche peut s'écrire :

    (MO>+OB>). CD>+ (MO>+OC>). DB>+(MO>+OD>). BC>

    MO>.(CD>+ DB>+ BC>)+OB>. CD>+OC>.(DC>+ CB>)+ OD>. BC>

    le second facteur du premier terme est nul

  13. #12
    tuan

    Re : produit scalaire

    J'ai précisé dans mon message #6 que l'expression à prouver était une propriété que possédait tout quadrilatère quelconque... Il ne te faut pas d'exploiter la perpendicularité des vecteurs...Et justement quand tu as supprimé un produit scalaire nul (messages #4 et #10) tu as créé un blocage pour la suite...
    Quant à ton message #11... je ne l'ai pas lu car c'est une erreur de faire intervenir le point O.
    Relis mon message #6 et dis-moi ce qui n'est pas clair.

  14. #13
    gidia

    Re : produit scalaire

    Mb.cd +mb.dc +bc.dm +md.bc=
    mb.(cd+dc)+bc.(dm+md)=0

  15. #14
    tuan

    Re : produit scalaire

    Citation Envoyé par gidia Voir le message
    Mb.cd +mb.dc +bc.dm +md.bc=
    mb.(cd+dc)+bc.(dm+md)=0
    mais oui, les sommes en rouge sont nulles !
    cd + dc = cc = 0 (Chasles... si tu veux)

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