Produit scalaire

invite4b33ea0e · 18/03/2009, 16h06

Bonjour à tous, j'ai un exercice à faire sur les produits scalaires et à vrai dire je n'ai rien compris. Si quelqu'un pourrait m'aider ça serait vraiment sympa. Merci.

Enonce

Dans un repère orthonormé de l'espace (O, i, j, k), les points A, B et C ont pour coordonnées respectives : A(3; -2 ;2), B(6; 1; 5), C(6; -2 ; -1).
1) Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
2) Soit P le plan d'équation cartésienne x+y+z-3=0.
Montrer que P est orthogonal à la droite (AB) et passe par le point A.
3) Soit H le projeté orthogonal de l'origine du repère O sur le plan P.
Déterminer les coordonnées de H.
4) Soit P' le plan orthogonal à la droite (AC) passant par le point A.
Déterminer une équation cartésienne de P'.
5) Soit D le point de coordonées (0; 4; -1). Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC).
6) Calculer le volume du tétraède ABCD.
7) Montrer que l'angle géométrique BDC a pour mesure PI/4 radian.
8) a) Montrer que l'air du triangle BDC est 27.
b) En déduire la distance du point A au plan (BDC).
9) a) Déterminer une équation du plan (BDC)
b) Recalculer la distance du point A au plan (BDC) et vérifie que l'on retrouve la même distance que dans la question 4).

Voilà. Si quelqu'un y arrive...

invite670d556e · 18/03/2009, 16h20

étrange... pour la 2) je trouve (AB) // au plan P ! et toi ?

invite4b33ea0e · 18/03/2009, 18h49

ben moi je ne trouve rien je n'y arrive pas ^^

**sylvainc2** · 18/03/2009, 19h19

Envoyé par Kanabeach1704

ben moi je ne trouve rien je n'y arrive pas ^^

Pour 2: la droite AB a pour vecteur directeur le vecteur qui va de A vers B, ie vect(AB) = point B - point A = (3,3,3). Ensuite, un vecteur orthogonal au plan d'équation x+y+z-3=0 est (1,1,1). Tout ca devrait être dans ton cours. Puisque (3,3,3)=3(1,1,1) c'est donc que la droite AB est parallele au vecteur (1,1,1), et comme celui-ci est orthogonal au plan... Tu dois aussi montrer que le point A est dans le plan, c'est facile remplace les x,y,z dans l'équation et vérifie que c'est bien égal.

Pour 1: calcule les vecteurs AB, AC, BC et calcule les produits scalaires 2 par 2: AB.AC, AB.BC et AC.BC. Pour que le triangle soit rectangle il faut que l'un deux soit = 0.

Pour les autres questions, c'est long a faire, et tu apprendras rien si on les fait pour toi...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite4b33ea0e · 21/03/2009, 18h36

Pour la question 4), je pense avoir trouver l'équation de P' mais cela me semble bizarre puisque je n'ai as de y, je vous expose mon calcul.

M(x,y,z) appartenant à P'. AC orthogonal à P' donc : AM.AC=0.
AM.AC=(x-3)3+0(y+2)+(-3)(z-2)
= 3x-3z-3
= x-z-1

Je trouve vraiment bizarre de na pas avoir de y est-ce quelqu'un peut m'éclairer ?

invite07dd2471 · 21/03/2009, 20h40

au contraire c'est rassurant : tes points A et C ont la même coordonnée suivant y : ta droite AC ne varie que suivant x et z et garde y = -2 ( ce qui ne veut pas dire que c'est son équation, attention !)

donc pour ton plan, orthogonal à cette droite, c'est le contraire.. il n'a de contrainte que suivant x et z, pour l'axe y tu peux te ballader ou tu veux sur ton plan.. je ne sais pas si c'est visuellement clair..

invite4b33ea0e · 22/03/2009, 10h50

Si, si, je comprends ce que tu veux dire. Merci.
En revanche pour l'aire du tétraède, je trouve 81(V(6)/6) !!! Je pense que ce n'est pas possible, voilà ce que j'ai fait :

Aire d'un tétraède : 1/3 * B * h (B=surface de la base et h=hauteur)

Aire de la base :
(b*h)/2
=(AB*AC)/2
=(3V3*3V2)/2
=(9V6)/2

Hauteur :
AD = 54

Aire du tétraède :
1/3 * (9V6)/2 * 54
=(486V6)/6
= 81(V6/6)

invite4b33ea0e · 22/03/2009, 14h57

Quelqu'un peut-il m'aider à faire les deux dernières questions (la 8 et la 9), j'ai fait toutes les autres et je bloque vraiment sur la 8)a), je ne vois pas comment je peux faire pour trouver une hauteur du triangle BDC.

invitea84d96f1 · 22/03/2009, 15h45

Envoyé par Kanabeach1704

Quelqu'un peut-il m'aider à faire les deux dernières questions (la 8 et la 9), j'ai fait toutes les autres et je bloque vraiment sur la 8)a), je ne vois pas comment je peux faire pour trouver une hauteur du triangle BDC.

Le triangle est la figure géométrique qui a le plus grand nombre de formules de calcul de l'aire

dont Aire = bc.sin(A)/2
Ce n'est vraiment pas compliqué d'appliquer cette formule au triangle BDC ayant un angle de 45°.

Le tétraèdre a 4 bases et 4 hauteurs. Il faut selon le cas bien choisir une base et la hauteur correspondante.
A toi de jouer.

invite4b33ea0e · 22/03/2009, 15h50

mais je ne connais pas cette formule pour calculer l'aire du triangle. Et que signifie bc et A. Est-ce-que bc=le côté BC et A l'angle BDC ?

invitea84d96f1 · 22/03/2009, 15h51

Envoyé par Kanabeach1704

mais je ne connais pas cette formule pour calculer l'aire du triangle. Et que signifie bc et A. Est-ce-que bc=le côté BC et A l'angle BDC ?

b et c sont longueurs de 2 côtés et A est l'angle entre ces deux côtés.

invitea84d96f1 · 22/03/2009, 15h56

Envoyé par tuan

b et c sont longueurs de 2 côtés et A est l'angle entre ces deux côtés.

Pour démontrer cette formule...
- dessine un triangle avec la hauteur perpendiculaire au côté de mesure b
Aire = base . hauteur/2
avec base = b
et hauteur = c.sin(A)

invite4b33ea0e · 22/03/2009, 15h57

A oui c'est exact je viens de faire le calcul et je trouve bien 27. Merci beaucoup.
Mais pour en déduire la distance du point A au plan je ne vois pas trop. A moins qu'elle soit la même que celle du point D au plan.

invitea84d96f1 · 22/03/2009, 15h59

Envoyé par Kanabeach1704

A oui c'est exact je viens de faire le calcul et je trouve bien 27. Merci beaucoup.
Mais pour en déduire la distance du point A au plan je ne vois pas trop.

2e partie de mon post #9

invite4b33ea0e · 22/03/2009, 16h02

je suis désolé mais je ne vois pas comment faire ?

invitea84d96f1 · 22/03/2009, 16h04

Envoyé par Kanabeach1704

je suis désolé mais je ne vois pas comment faire ?

Tu as connu le volume du solide.
Tu viens de connaître l'aire de la base BDC
Pourquoi ce serait difficile de calculer la hauteur correspondante ?

invite4b33ea0e · 22/03/2009, 16h10

mais je pense que mon volume est faux (voire post#7). Si ce n'est pas le cas je trouve que le point A est à une distance de 81(V6/54). (étrange)

invitea84d96f1 · 22/03/2009, 16h17

Envoyé par Kanabeach1704

mais je pense que mon volume est faux (voire post#7). Si ce n'est pas le cas je trouve que le point A est à une distance de 81(V6/54). (étrange)

Ah là... je n'ai pas vérifié ce que tu as fait...
Justement la question 9 est une auto-vérification
- écris une équation du plan BCD (connaissant les coordonnées des points)
- écris les équations de la perpendiculaire à ce plan et issue de A
- cherche l'intersection des 2
- déduis la hauteur

invitea84d96f1 · 22/03/2009, 16h19

Envoyé par Kanabeach1704

Si, si, je comprends ce que tu veux dire. Merci.
En revanche pour l'aire du tétraède, je trouve 81(V(6)/6) !!! Je pense que ce n'est pas possible, voilà ce que j'ai fait :

Aire d'un tétraède : 1/3 * B * h (B=surface de la base et h=hauteur)

Aire de la base :
(b*h)/2
=(AB*AC)/2
=(3V3*3V2)/2
=(9V6)/2

Hauteur :
AD = 54
Aire du tétraède :
1/3 * (9V6)/2 * 54
=(486V6)/6
= 81(V6/6)

non..., sa racine carrée !!!

invite4b33ea0e · 22/03/2009, 16h32

a oui !!!! oh l'erreur. Et bien je vais recalculer l'aire. En attendant voici mon équation du plan pour la question 9)a) :

M(x,y,z) appartenant à d qui est orthogonal à BC et passe par D.
DM.BC=(x-0)0+(y-4)(-3)+(z+1)(-6)
=-3y+12-6z-6
=-y-2z+2

invite4b33ea0e · 22/03/2009, 16h35

J'ai refait les calculs et je trouve 81 pour le volume du tétraède et 9 pour la distance du point A au plan.

invitea84d96f1 · 22/03/2009, 16h40

Envoyé par Kanabeach1704

a oui !!!! oh l'erreur. Et bien je vais recalculer l'aire. En attendant voici mon équation du plan pour la question 9)a) :

M(x,y,z) appartenant à d qui est orthogonal à BC et passe par D.
DM.BC=(x-0)0+(y-4)(-3)+(z+1)(-6)=-3y+12-6z-6
=-y-2z+2

non, erreur monumentale. On est en 3D... DM.BC=0 siginfie que "M est tout point qui fait que DM est ORTHOGONAL à BC". Le résultat est que M est dans un plan perpendiculaire à BC : équation du plan perpendiculaire à BC.

Je t'avais bien soufflé : plan passant par 3 points !!!

invite4b33ea0e · 22/03/2009, 16h44

Et bien, je ne comprends pas ? Si je ne peux pas trouver l'équation avec cette méthode comment puis-je faire. En tout cas je pense l'équation au final est fausse puisque que pour la dernière question qui consiste à vérifier si la distance calculer au point A précedemment est bonne je trouve V5 et non 9. A moins que ce soit 9 qui est faux ?

invitea84d96f1 · 22/03/2009, 16h56

L'équation du plan est une équation linéaire en x,y et z, donc
ax +by +cz +d = 0
en réalité, si on multiplie tous les termes par un même facteur non nul le plan reste le même. D'où l'expression "UNE" équation du plan.
Si on sait que le plan ne passe pas par l'origine on pourra écrire
ax +by +cz +1 = 0 par exemple... plus simple.

Après... le plan passe par 3 points => 3 équations aux 4 inconnues a,b,c,d avec une indétermination à la fin... On divisera tous par celui qui est non nul... etc.

invite4b33ea0e · 22/03/2009, 16h58

RECTIFICATION : le volume du tétraède est de 27 et non 81, j'ai mal simplifier ma racine.

invitea84d96f1 · 22/03/2009, 17h01

Envoyé par Kanabeach1704

Et bien, je ne comprends pas ? Si je ne peux pas trouver l'équation avec cette méthode comment puis-je faire. En tout cas je pense l'équation au final est fausse puisque que pour la dernière question qui consiste à vérifier si la distance calculer au point A précedemment est bonne je trouve V5 et non 9. A moins que ce soit 9 qui est faux ?

Hélas, une grosse lacune de l'enseignement actuel est d'avoir supprimé le produit vectoriel des vecteurs qui résoudrait pas mal de problèmes beaucoup plus simplemennt

invite4b33ea0e · 22/03/2009, 17h04

Envoyé par tuan

L'équation du plan est une équation linéaire en x,y et z, donc
ax +by +cz +d = 0
en réalité, si on multiplie tous les termes par un même facteur non nul le plan reste le même. D'où l'expression "UNE" équation du plan.
Si on sait que le plan ne passe pas par l'origine on pourra écrire
ax +by +cz +1 = 0 par exemple... plus simple.

Après... le plan passe par 3 points => 3 équations aux 4 inconnues a,b,c,d avec une indétermination à la fin... On divisera tous par celui qui est non nul... etc.

Houla ! Je ne comprends pas tout ce langage !
Tu ne pourrais pas me donner un exemple ?

invitea84d96f1 · 22/03/2009, 17h24

Dans un plan (x,y), quelle est l'équation d'une droite ?
une équation linéaire (=degré 1) en x et y, donc ax +by +d = 0
OK jusque là ?

Si la droite passe par 2 points (1;2) et (3;4) par exemple...
l'équation est satisfaite par ces 2 couples de valeus... OK ?
c'est-à-dire

a +2b +d = 0
3a +4b +d = 0 (2 équations à 3 inconnues a,b,d)

Comment résoudre ce système ?
"2e équ. moins 2 fois la 1e" => a=d
"3 fois la 1e équ. moins la 2e" => b=-d

d'où dx -dy +d = 0 ou
x -y +1 =0 l'équation de la droite

Même chose en 3D avec z en plus : équation d'un plan

invite4b33ea0e · 22/03/2009, 17h39

alors si je comprends bien ici ça me ferait :
6a+b+5c+d=0
4a-c+d=0
6a-2b-c+d=0

1er équ. - 3e équ. => 3b+6c => b=2c
5*3e équ-1er équ. => 30a-10b-5c+5d - 6a-b-5c-d => 27a-11b+4d =>a=(11b-4d)/27

Enfin non, voilà ce que j'ai fait mais je crois que ce n'est pas du tout ce que vous essayer de m'expliquer.

invitea84d96f1 · 22/03/2009, 17h46

Envoyé par Kanabeach1704

alors si je comprends bien ici ça me ferait :
6a+b+5c+d=0
4a-c+d=0
6a-2b-c+d=0

1er équ. - 3e équ. => 3b+6c => b=2c
5*3e équ-1er équ. => 30a-10b-5c+5d - 6a-b-5c-d => 27a-11b+4d =>a=(11b-4d)/27

Enfin non, voilà ce que j'ai fait mais je crois que ce n'est pas du tout ce que vous essayer de m'expliquer.

continue encore...
exprime tous les a,b,c en fonction de d

Produit scalaire