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Produit scalaire



  1. #1
    Kanabeach1704

    Produit scalaire


    ------

    Bonjour à tous, j'ai un exercice à faire sur les produits scalaires et à vrai dire je n'ai rien compris. Si quelqu'un pourrait m'aider ça serait vraiment sympa. Merci.

    Enonce

    Dans un repère orthonormé de l'espace (O, i, j, k), les points A, B et C ont pour coordonnées respectives : A(3; -2 ;2), B(6; 1; 5), C(6; -2 ; -1).
    1) Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
    2) Soit P le plan d'équation cartésienne x+y+z-3=0.
    Montrer que P est orthogonal à la droite (AB) et passe par le point A.
    3) Soit H le projeté orthogonal de l'origine du repère O sur le plan P.
    Déterminer les coordonnées de H.
    4) Soit P' le plan orthogonal à la droite (AC) passant par le point A.
    Déterminer une équation cartésienne de P'.
    5) Soit D le point de coordonées (0; 4; -1). Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC).
    6) Calculer le volume du tétraède ABCD.
    7) Montrer que l'angle géométrique BDC a pour mesure PI/4 radian.
    8) a) Montrer que l'air du triangle BDC est 27.
    b) En déduire la distance du point A au plan (BDC).
    9) a) Déterminer une équation du plan (BDC)
    b) Recalculer la distance du point A au plan (BDC) et vérifie que l'on retrouve la même distance que dans la question 4).

    Voilà. Si quelqu'un y arrive...

    -----

  2. #2
    Tholruck

    Re : Produit scalaire

    étrange... pour la 2) je trouve (AB) // au plan P ! et toi ?

  3. #3
    Kanabeach1704

    Re : Produit scalaire

    ben moi je ne trouve rien je n'y arrive pas ^^

  4. #4
    sylvainc2

    Re : Produit scalaire

    Citation Envoyé par Kanabeach1704 Voir le message
    ben moi je ne trouve rien je n'y arrive pas ^^
    Pour 2: la droite AB a pour vecteur directeur le vecteur qui va de A vers B, ie vect(AB) = point B - point A = (3,3,3). Ensuite, un vecteur orthogonal au plan d'équation x+y+z-3=0 est (1,1,1). Tout ca devrait être dans ton cours. Puisque (3,3,3)=3(1,1,1) c'est donc que la droite AB est parallele au vecteur (1,1,1), et comme celui-ci est orthogonal au plan... Tu dois aussi montrer que le point A est dans le plan, c'est facile remplace les x,y,z dans l'équation et vérifie que c'est bien égal.

    Pour 1: calcule les vecteurs AB, AC, BC et calcule les produits scalaires 2 par 2: AB.AC, AB.BC et AC.BC. Pour que le triangle soit rectangle il faut que l'un deux soit = 0.

    Pour les autres questions, c'est long a faire, et tu apprendras rien si on les fait pour toi...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Kanabeach1704

    Re : Produit scalaire

    Pour la question 4), je pense avoir trouver l'équation de P' mais cela me semble bizarre puisque je n'ai as de y, je vous expose mon calcul.

    M(x,y,z) appartenant à P'. AC orthogonal à P' donc : AM.AC=0.
    AM.AC=(x-3)3+0(y+2)+(-3)(z-2)
    = 3x-3z-3
    = x-z-1

    Je trouve vraiment bizarre de na pas avoir de y est-ce quelqu'un peut m'éclairer ?

  7. #6
    fitzounet

    Re : Produit scalaire

    au contraire c'est rassurant : tes points A et C ont la même coordonnée suivant y : ta droite AC ne varie que suivant x et z et garde y = -2 ( ce qui ne veut pas dire que c'est son équation, attention !)

    donc pour ton plan, orthogonal à cette droite, c'est le contraire.. il n'a de contrainte que suivant x et z, pour l'axe y tu peux te ballader ou tu veux sur ton plan.. je ne sais pas si c'est visuellement clair..

  8. #7
    Kanabeach1704

    Re : Produit scalaire

    Si, si, je comprends ce que tu veux dire. Merci.
    En revanche pour l'aire du tétraède, je trouve 81(V(6)/6) !!! Je pense que ce n'est pas possible, voilà ce que j'ai fait :

    Aire d'un tétraède : 1/3 * B * h (B=surface de la base et h=hauteur)

    Aire de la base :
    (b*h)/2
    =(AB*AC)/2
    =(3V3*3V2)/2
    =(9V6)/2

    Hauteur :
    AD = 54

    Aire du tétraède :
    1/3 * (9V6)/2 * 54
    =(486V6)/6
    = 81(V6/6)

  9. #8
    Kanabeach1704

    Re : Produit scalaire

    Quelqu'un peut-il m'aider à faire les deux dernières questions (la 8 et la 9), j'ai fait toutes les autres et je bloque vraiment sur la 8)a), je ne vois pas comment je peux faire pour trouver une hauteur du triangle BDC.

  10. #9
    tuan

    Re : Produit scalaire

    Citation Envoyé par Kanabeach1704 Voir le message
    Quelqu'un peut-il m'aider à faire les deux dernières questions (la 8 et la 9), j'ai fait toutes les autres et je bloque vraiment sur la 8)a), je ne vois pas comment je peux faire pour trouver une hauteur du triangle BDC.
    Le triangle est la figure géométrique qui a le plus grand nombre de formules de calcul de l'aire dont Aire = bc.sin(A)/2
    Ce n'est vraiment pas compliqué d'appliquer cette formule au triangle BDC ayant un angle de 45°.

    Le tétraèdre a 4 bases et 4 hauteurs. Il faut selon le cas bien choisir une base et la hauteur correspondante.
    A toi de jouer.

  11. #10
    Kanabeach1704

    Re : Produit scalaire

    mais je ne connais pas cette formule pour calculer l'aire du triangle. Et que signifie bc et A. Est-ce-que bc=le côté BC et A l'angle BDC ?

  12. #11
    tuan

    Re : Produit scalaire

    Citation Envoyé par Kanabeach1704 Voir le message
    mais je ne connais pas cette formule pour calculer l'aire du triangle. Et que signifie bc et A. Est-ce-que bc=le côté BC et A l'angle BDC ?
    b et c sont longueurs de 2 côtés et A est l'angle entre ces deux côtés.

  13. #12
    tuan

    Re : Produit scalaire

    Citation Envoyé par tuan Voir le message
    b et c sont longueurs de 2 côtés et A est l'angle entre ces deux côtés.
    Pour démontrer cette formule...
    - dessine un triangle avec la hauteur perpendiculaire au côté de mesure b
    Aire = base . hauteur/2
    avec base = b
    et hauteur = c.sin(A)

  14. #13
    Kanabeach1704

    Re : Produit scalaire

    A oui c'est exact je viens de faire le calcul et je trouve bien 27. Merci beaucoup.
    Mais pour en déduire la distance du point A au plan je ne vois pas trop. A moins qu'elle soit la même que celle du point D au plan.

  15. #14
    tuan

    Re : Produit scalaire

    Citation Envoyé par Kanabeach1704 Voir le message
    A oui c'est exact je viens de faire le calcul et je trouve bien 27. Merci beaucoup.
    Mais pour en déduire la distance du point A au plan je ne vois pas trop.
    2e partie de mon post #9

  16. #15
    Kanabeach1704

    Re : Produit scalaire

    je suis désolé mais je ne vois pas comment faire ?

  17. #16
    tuan

    Re : Produit scalaire

    Citation Envoyé par Kanabeach1704 Voir le message
    je suis désolé mais je ne vois pas comment faire ?
    Tu as connu le volume du solide.
    Tu viens de connaître l'aire de la base BDC
    Pourquoi ce serait difficile de calculer la hauteur correspondante ?

  18. #17
    Kanabeach1704

    Re : Produit scalaire

    mais je pense que mon volume est faux (voire post#7). Si ce n'est pas le cas je trouve que le point A est à une distance de 81(V6/54). (étrange)

  19. #18
    tuan

    Re : Produit scalaire

    Citation Envoyé par Kanabeach1704 Voir le message
    mais je pense que mon volume est faux (voire post#7). Si ce n'est pas le cas je trouve que le point A est à une distance de 81(V6/54). (étrange)
    Ah là... je n'ai pas vérifié ce que tu as fait...
    Justement la question 9 est une auto-vérification
    - écris une équation du plan BCD (connaissant les coordonnées des points)
    - écris les équations de la perpendiculaire à ce plan et issue de A
    - cherche l'intersection des 2
    - déduis la hauteur

  20. #19
    tuan

    Re : Produit scalaire

    Citation Envoyé par Kanabeach1704 Voir le message
    Si, si, je comprends ce que tu veux dire. Merci.
    En revanche pour l'aire du tétraède, je trouve 81(V(6)/6) !!! Je pense que ce n'est pas possible, voilà ce que j'ai fait :

    Aire d'un tétraède : 1/3 * B * h (B=surface de la base et h=hauteur)

    Aire de la base :
    (b*h)/2
    =(AB*AC)/2
    =(3V3*3V2)/2
    =(9V6)/2

    Hauteur :
    AD = 54
    Aire du tétraède :
    1/3 * (9V6)/2 * 54
    =(486V6)/6
    = 81(V6/6)
    non..., sa racine carrée !!!

  21. #20
    Kanabeach1704

    Re : Produit scalaire

    a oui !!!! oh l'erreur. Et bien je vais recalculer l'aire. En attendant voici mon équation du plan pour la question 9)a) :

    M(x,y,z) appartenant à d qui est orthogonal à BC et passe par D.
    DM.BC=(x-0)0+(y-4)(-3)+(z+1)(-6)
    =-3y+12-6z-6
    =-y-2z+2

  22. #21
    Kanabeach1704

    Re : Produit scalaire

    J'ai refait les calculs et je trouve 81 pour le volume du tétraède et 9 pour la distance du point A au plan.

  23. #22
    tuan

    Re : Produit scalaire

    Citation Envoyé par Kanabeach1704 Voir le message
    a oui !!!! oh l'erreur. Et bien je vais recalculer l'aire. En attendant voici mon équation du plan pour la question 9)a) :

    M(x,y,z) appartenant à d qui est orthogonal à BC et passe par D.
    DM.BC=(x-0)0+(y-4)(-3)+(z+1)(-6)=-3y+12-6z-6
    =-y-2z+2
    non, erreur monumentale. On est en 3D... DM.BC=0 siginfie que "M est tout point qui fait que DM est ORTHOGONAL à BC". Le résultat est que M est dans un plan perpendiculaire à BC : équation du plan perpendiculaire à BC.

    Je t'avais bien soufflé : plan passant par 3 points !!!

  24. #23
    Kanabeach1704

    Re : Produit scalaire

    Et bien, je ne comprends pas ? Si je ne peux pas trouver l'équation avec cette méthode comment puis-je faire. En tout cas je pense l'équation au final est fausse puisque que pour la dernière question qui consiste à vérifier si la distance calculer au point A précedemment est bonne je trouve V5 et non 9. A moins que ce soit 9 qui est faux ?

  25. #24
    tuan

    Re : Produit scalaire

    L'équation du plan est une équation linéaire en x,y et z, donc
    ax +by +cz +d = 0
    en réalité, si on multiplie tous les termes par un même facteur non nul le plan reste le même. D'où l'expression "UNE" équation du plan.
    Si on sait que le plan ne passe pas par l'origine on pourra écrire
    ax +by +cz +1 = 0 par exemple... plus simple.

    Après... le plan passe par 3 points => 3 équations aux 4 inconnues a,b,c,d avec une indétermination à la fin... On divisera tous par celui qui est non nul... etc.

  26. #25
    Kanabeach1704

    Re : Produit scalaire

    RECTIFICATION : le volume du tétraède est de 27 et non 81, j'ai mal simplifier ma racine.

  27. #26
    tuan

    Re : Produit scalaire

    Citation Envoyé par Kanabeach1704 Voir le message
    Et bien, je ne comprends pas ? Si je ne peux pas trouver l'équation avec cette méthode comment puis-je faire. En tout cas je pense l'équation au final est fausse puisque que pour la dernière question qui consiste à vérifier si la distance calculer au point A précedemment est bonne je trouve V5 et non 9. A moins que ce soit 9 qui est faux ?
    Hélas, une grosse lacune de l'enseignement actuel est d'avoir supprimé le produit vectoriel des vecteurs qui résoudrait pas mal de problèmes beaucoup plus simplemennt

  28. #27
    Kanabeach1704

    Re : Produit scalaire

    Citation Envoyé par tuan Voir le message
    L'équation du plan est une équation linéaire en x,y et z, donc
    ax +by +cz +d = 0
    en réalité, si on multiplie tous les termes par un même facteur non nul le plan reste le même. D'où l'expression "UNE" équation du plan.
    Si on sait que le plan ne passe pas par l'origine on pourra écrire
    ax +by +cz +1 = 0 par exemple... plus simple.

    Après... le plan passe par 3 points => 3 équations aux 4 inconnues a,b,c,d avec une indétermination à la fin... On divisera tous par celui qui est non nul... etc.
    Houla ! Je ne comprends pas tout ce langage !
    Tu ne pourrais pas me donner un exemple ?

  29. #28
    tuan

    Re : Produit scalaire

    Dans un plan (x,y), quelle est l'équation d'une droite ?
    une équation linéaire (=degré 1) en x et y, donc ax +by +d = 0
    OK jusque là ?

    Si la droite passe par 2 points (1;2) et (3;4) par exemple...
    l'équation est satisfaite par ces 2 couples de valeus... OK ?
    c'est-à-dire

    a +2b +d = 0
    3a +4b +d = 0 (2 équations à 3 inconnues a,b,d)

    Comment résoudre ce système ?
    "2e équ. moins 2 fois la 1e" => a=d
    "3 fois la 1e équ. moins la 2e" => b=-d

    d'où dx -dy +d = 0 ou
    x -y +1 =0 l'équation de la droite

    Même chose en 3D avec z en plus : équation d'un plan

  30. #29
    Kanabeach1704

    Re : Produit scalaire

    alors si je comprends bien ici ça me ferait :
    6a+b+5c+d=0
    4a-c+d=0
    6a-2b-c+d=0

    1er équ. - 3e équ. => 3b+6c => b=2c
    5*3e équ-1er équ. => 30a-10b-5c+5d - 6a-b-5c-d => 27a-11b+4d =>a=(11b-4d)/27

    Enfin non, voilà ce que j'ai fait mais je crois que ce n'est pas du tout ce que vous essayer de m'expliquer.

  31. #30
    tuan

    Re : Produit scalaire

    Citation Envoyé par Kanabeach1704 Voir le message
    alors si je comprends bien ici ça me ferait :
    6a+b+5c+d=0
    4a-c+d=0
    6a-2b-c+d=0

    1er équ. - 3e équ. => 3b+6c => b=2c
    5*3e équ-1er équ. => 30a-10b-5c+5d - 6a-b-5c-d => 27a-11b+4d =>a=(11b-4d)/27

    Enfin non, voilà ce que j'ai fait mais je crois que ce n'est pas du tout ce que vous essayer de m'expliquer.
    continue encore...
    exprime tous les a,b,c en fonction de d

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