Valeur nième de la constante de Champernowne

[invite04716616]

Bonjour
Me suis amusé je sais pas ce que ça vaut :
A vérifier avec un algorithme que
Ia 57289356 ième décimale de Champernowne est 2.
Je suis dentiste et pas matheux

Il faut d'abord trouver les valeurs remarquables pour les suites de caractères qu'on a des chances de trouver pour la première fois dans Champernowne à savoir
Premier 0
Premier 10
Premier 100
Puis on calcule les index des 0,10,100,1000 etc par la formule suivante
P(0)= [0]×9 + 1 = 0
P(10)=[1]× 9 +1 = 10
P(100) =[21] × 9 +1=190
P(1000) = [321]×9 +1=2890
P(10000) =[4321]×9 + 1= 38890
P(100000) = [54321]×9 + 1=488890
P(1000000) =[654321] ×9 +1=5888890
Pour trouver P(10^n) il faut
multiplier 9 par la suite concatenee n,n-1,n-2,n-3 jusqu'à 1 puis rajouter 1
Ex pour P(10^7) on a la suite 7654321
Donc par exemple
P(10000000) = 7654321× 9 + 1 = 68888890<br>
Ensuite on cherche dans quelle fourchette se trouve l'index demandé
Par exemple l'index Y=57289356 est inférieur à P(10000000)*et
supérieur à P(1000000)
soit<br>
5888890 <57289356<68888890
On va ensuite chercher N de rang r = 7 puisque 1000000 s'exprime sur 7 rang avec la formule tirée de plus haut.
Posons P (1000000) = X
On a donc:
Y = X + r×(N - 10^(r-1)) + 1
<=> (Y-X -1)/r = N - 10^(r-1)
<=> N = 10^(r-1) + (Y-X-1)/r
Avec
Y = 57289356
X =5888890
r = 7
On a
N = 10^6 + (57289356 - 5888890 -1)/7
N = 1000000 + 51,400,465/7

N = 8342923.5714285

Pour trouver la décimale recherchee on s'intéresse au reste qui doit etre un multiple de 1/7 ième.
Ici le reste est 0.5714285
et 1/7 = 0.1428571429
On a 0.1428571429 ×4 =
0.5714285
La décimale recherchée est donc située au 4 ième rang de la valeur entière de N
***************** Soit 2
P(57289356) = 2
'
-----

[invite04716616]

Rebonjour
En voulant simplifier les choses la suite concatenee trouve ses limites à n=11 pour des nombres de rang 11
Je remplacerai par la formule originale plus tard.

[raymolk]

Je suppose que tout ça doit être démontré quelque part, mais en tout cas, ce qui est dit là me semble juste, même si ça n'est pas très facile à lire en l'état.
Si P(N) donne la position d'un entier N dans la suite des décimales de la constante de Champernowne, alors on peut montrer par récurrence sur n que


et si , on a .
Dès lors, pour trouver à quel chiffre correspond un indice Y donné dans la suite des décimales de la constante de Champernowne, on peut effectivement encadrer cet indice par P(10ⁿ) et P(10ⁿ⁺¹) pour un certain n, puis chercher x tel que

Le chiffre cherché sera alors donné par le reste de la division de Y-P(10ⁿ)-1 par n+1, partant de 1 pour la première décimale de la partie entière de x, jusqu'à 0 pour la (n+1)ième.
Par contre, je ne vois pas ce que tu veux dire dans ton second message par « la suite concaténée trouve ses limites à n=11 pour des nombres de rang 11 » : ce qui précède est vrai pour n'importe quel n.

[raymolk]

Ma dernière phrase explicative n'est pas très claire : au lieu de
« Le chiffre cherché sera alors donné par le reste de la division de Y-P(10ⁿ)-1 par n+1, partant de 1 pour la première décimale de la partie entière de x, jusqu'à 0 pour la (n+1)ième. »
il vaut mieux dire :
« Le chiffre cherché sera alors parmi les décimales de la partie entière de x, à une position donnée par le reste de la division de Y-P(10ⁿ)-1 par n+1, partant de 1 pour la première décimale de la partie entière de x, jusqu'à 0 pour la (n+1)ième. »

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite04716616]

Bonnuit
J'ai trouvé un lien intéressant.
N'ayant pas envie du tout de me remettre à programmer!!!
https://www.dcode.fr/recherche-decimales
On choisira ici le nombre qu'on veut.
Je trouve pas d'éditeur de formule.
Alors je ferai une photo papier.

[invite04716616]

Rebonnuit
Je viens de voir que Raymolk a formulé exactement ce que j'avais trouvé.
J'ai pas trouvé d'éditeur de formule mathématique.
Bravo d'avoir exprimé mieux que moi cette formule.

[invite04716616]

.... et surtout validé!
Ça fait 40 ans depuis mes années fac médecine que je n'ai plus écrit une équation
J'ai suivi mon inspiration du moment

[invite04716616]

Par contre, je ne vois pas ce que tu veux dire dans ton second message par « la suite concaténée trouve ses limites à n=11 pour des nombres de rang 11 » : ce qui précède est vrai pour n'importe quel n.

L'expression de la sommation pour k=1 à n de k×10^(k-1)
1 +20+300+4000+....peut s'ecrire:
...........4321
...........54321
............654321
Arrivé à 9
.............987654321
Puis
............987654321 + 10×10^9 = 10987654321
10987654321 + 11×10^10=
120987654321 ne peut plus s'écrire en concatenant 11 à 10987654321 cad
1110987654321 etc
121110987654321
On bloque à 11

[raymolk]

Ah oui, d'accord : la représentation de P(10ⁿ) sous la forme de la suite concaténée de n, n-1, …, 1, n'est vraie que jusqu'à n=10, car c'est la base du système décimal.
Mais la formule

est vraie pour tout n, car facilement démontrable par récurrence à partir de


NB : pour les formules mathématiques, il te suffit d'utiliser les balises « tex » et « /tex » (entre crochets), et sinon, pour les petites choses, tu peux faire usage des mise en exposant / indice dans la barre d'outils.
Pour avoir des exemples, tu peux faire « Répondre avec citation » sur un de mes messages, et tu auras accès au code source.

[Médiat]

Votre formule se calcule simplement et on arrive à , il n'y a que pour 1 qu'il y a une différence (et dans ma formule cela marche)

[invite04716616]

Bonjour
Merci à raymolk et Mediat

[raymolk]

Oui, effectivement, on a

Une manière de le montrer, partant de

est de remarquer que l'on a avec

puis de dérouler le calcul.

[invite04716616]

Bon matin,
S"il vous plait raymolk vous pouvez nous ecrire la formule condensée de P(N)= et N= en utilisant la formule simplifié que Médiat a bien voulu fournir?
Il faut que j'assimile comment utiliser "répondre avec citation" je ne le trouve toujours pas en bas de chaque intervention... je n'ai que "Répondre".
Ensuite j'utilise ici le quote mais je ne trouve tjs pas l'outil pour ecrire les formules mathématiques!!!

ceci est quote

.
Ensuite j'utilise ici CODE

ceci est du code

....Toujours pas plus avancé
Je vais voir pour tex
Si je trouve dans la journée .... promis je siffle.
Peut on utiliser la balise php pour utiliser un executable ici? Personnellement j'en doute.
J'utilisais le php il y a 10 ans environ et tout cela est si loin!!!!
Merci à vous.

[raymolk]

Tout d'abord, pour le latex, il faut que tu utilises le même système de balisage que pour code ou quote, mais en remplaçant « CODE » ou « QUOTE » par « TEX » entre les crochets « […] » (tu peux mettre « tex » en minuscules, ça marche aussi).
Ensuite, pour avoir accès à l'option « Répondre avec citation », il faut que tu utilises le style « FS / Desktop » pour le forum : ça se paramètre en allant dans Tableau de bord -> Mes paramètres -> Options générales, puis en bas de page (Style du forum).

Maintenant, concernant la formule générale pour P(N), c'est assez marrant en fait (j'imagine que tu as fait le calcul).
Partant donc, pour , de

en remplaçant P(10ⁿ) par

on obtient

C'est-à-dire P(N) = (n+1)N + 1 - a_n, avec a_n = 1…10 (n « 1 » concaténés avec un « 0 »).

Finalement, en reprenant les notations du post #1, où Y est l'indice donné pour lequel on cherche la décimale de la constante de Champernowne, on a

Pour Y = 57289356 et donc n = 6, on retrouve bien N = 8342923.5714285, puis la quatrième décimale de la partie entière « 2 », en poursuivant le raisonnement.

[invite04716616]

Merci beaucoup raymolk

[invite04716616]

Non Raymolk j'ai pas fait le calcul.
Je suis une véritable crotte en math aujourd'hui.
Je suis arrivé à exprimer la formule avec des sommations de suites geometriques.
Je suis pas trop mécontent de moi avec mon cerveau et mes pbs de santé.
Il m'a fallut pas mal d'observation et surtout j'ai eu bcp de mal à supprimer la récurrence de N à chaque puissances de 10.
Vous avez fait le reste et vous envoie mes gribouillis dans la journée si possible car je vais etre occupé aujourd'hui.
Merci encore.
J'en ai vraiment c....

[invite04716616]

J'ai developpé les ecritures.
Bonsoir,
C'est pas mal tout ça!!!!
je connaissais pas les equivalences pour les sommations (tout ça c'est 45 ans en arrière.
en tout cas les écritures sont vraiment simplifieés.
Me reste à voir les 5 dernières lignes du N= etc.
Merci pour votre aide raymolk c'était gentil.

[invite04716616]

Est ce bien le code source latex pour les formules?
voir piece jointe:
Si je dois taper cela ben

[raymolk]

Eh oui, il faut se mettre au latex
Tiens, voilà un lien que j'aurais dû te donner dès le début : https://forums.futura-sciences.com/f...e-demploi.html

[invite04716616]

Bonsoir,

Je suis pas sur que la plupart des utilisateurs n'utilisent pas pour les formules des générateurs adhoc.
Bonne nuit.

[raymolk]

Possible qu'il existe des choses pas trop mal dans ce domaine maintenant, je ne sais pas trop.
Je connais ce site qui peut dépanner pour retrouver la formule d'un symbole : http://detexify.kirelabs.org/classify.html
Mais bon, on s'y fait assez vite à taper du latex…

[invite04716616]

Bonsoir Mediat,

Votre formule se calcule simplement et on arrive à , il n'y a que pour 1 qu'il y a une différence (et dans ma formule cela marche)

En refaisant les calculs avec ma methode je trouve tjs une difference de 1 sur l'adressage.
En fait j'adresse l'indice 1 sur 1 etc etc.
pour le calcul de 10^n je le calcule manuellement.
Je calcule la difference de N-10^n que je multiplie par n+1.
Est ce du à votre formule?
Bien à vous.
Merci.