Somme de morphisme

**ArnoGreg** · 25/02/2020, 15h42

Bonjour,

je fais un exercice dans lequel j'ai une interrogation que je n'arrive pas à lever.

On considère $\phi$ est un morphisme non constant du groupe fini $(G,.)$ vers le groupe $(\mathbb{C}^*,\times)$ .

Je dois calculer $\sum_{x\in G}\phi(x)$ .

Puisque $\phi$ n'est pas constant, je sais qu'il existe $a\in G$ de sorte que $\phi(a)\neq 1$ .

On considère l'application $\psi$ de $G$ dans $G$ définie par $\psi(a)=ax$ .

Alors $\psi$ est une injection entre deux ensembles finis de mêmes cardinaux, donc une bijection.

Et là vient le point de blocage :

Pourquoi puis-je alors écrire que : $\sum_{x\in G}\phi(x)=\sum_{x\in G}\phi(ax)$ ? Je ne comprends pas trop.

Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance.

**gg0** · 25/02/2020, 15h49

Bonjour.

$\sum_{x\in G}\phi(x)=\sum_{x\in G}\phi(a(a^{-1}x)) = \sum_{y\in G}\phi(ay)$

Cordialement.

**ArnoGreg** · 25/02/2020, 15h57

Je vois.

De ce que je comprends, on fait un changement de variable $y=a^{-1}x$ , et comme $x\in G$ alors $y\in G$ . D'où l'égalité que vous obtenez.

Mais donc, en quoi était-il nécessaire de parler de la bijection $\psi$ ?

**Médiat** · 25/02/2020, 16h04

Bonjour,

On peut voir une bijection comme une permutation des éléments, ce qui ne change pas la somme

Autre explication : si l'application n'était pas surjective, il manquerait des éléments dans la somme

Si l'application n'était pas injective ... je vous laisse finir

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**ArnoGreg** · 25/02/2020, 16h12

C'est justement ce que je n'arrive pas à voir.

Si $G=\{x,y,z\}$ , alors $\phi(x)+\phi(y)+\phi(z)$ est $\phi(ax)+\phi(ay)+\phi(az)$ , c'est la même chose ?

**Médiat** · 25/02/2020, 17h13

Comme je vous l'ai dit une bijection n'est qu'une permutation des x, y, z, alors x + y + z ou z + x + y, oui, c'est pareil

**ArnoGreg** · 25/02/2020, 17h39

Je ne dois pas le voir parce que je pense en terme de fonction certainement.

Par exemple $f : x\to x+1$ est une bijection.

Pourtant, $f(x)+f(y)+f(z)$ ça n'est pas comme $f(x+1)+f(y+1)+f(z+1)$ .

Je m'y perds un peu

**gg0** · 25/02/2020, 21h23

Une bijection dans G c'est par exemple
x --> x
y --> z
z --> y
Pourquoi confonds-tu fonction avec calcul ? Et ton exemple de bijection est mal foutu, tu ne dis pas dans quel ensemble tu travailles. De [0,1] dans [0;2], l'application x--> x+1 n'est pas une bijection. Et de G dans G ça n'a aucun sens.
Il te faut revoir de près les notions de fonction (application) et de bijection.

Cordialement.

**ArnoGreg** · 26/02/2020, 11h12

Je crois mieux comprendre.

Je suppose pour fixer les idées que $G=\{x_1,x_2,x_3\}$ .

$\psi : x \mapsto a\times x$ est une bijection de $G$ dans $G$ .

Donc $\forall j\in[[1,3]]\,, \exists!i\in[[1,3]]$ de sorte que $\psi(x_i)=x_j$ .

Et par suite $\phi(\psi(x_i))=\phi(x_j)$ .

Donc $\sum_{x\in G}\phi(\psi(x))=\sum_{x\in G}\phi(x)$ .

**raymolk** · 26/02/2020, 16h58

Oui (modulo la faute de frappe $\exists !$ ), mais là G n'est pas particulièrement un groupe, il peut tout aussi bien être seulement un ensemble et ψ être n'importe quelle bijection.
Si bien que tu ne réponds toujours pas à la question de départ : que vaut la somme des φ(x) pour x dans G si φ est un morphisme non constant de G dans (C^*, .) ?

**ArnoGreg** · 26/02/2020, 22h49

Oui, c'est vrai.
Mais la suite je l'ai comprise.

$\sum_{x\in G}\phi(x)=\sum_{x\in G}\phi(ax)=\phi(a)\sum_{x\in G}\phi(x)$ puisque $\phi$ est un morphisme.

Alors : $\sum_{x\in G}\phi(x)(1-\phi(a))=0$ et comme $\phi(a)\neq 1$ , cela impose $\sum_{x\in G}\phi(x)=0$ .

**ArnoGreg** · 26/02/2020, 23h00

Que pensez-vous de la rédaction suivante ?

Puisque $\psi$ est une bijection de $G$ dans $G$ , alors tout $y$ de $G$ (à l'arrivée) admet un unique $x$ de $G$ (au départ) de sorte que $\psi(x)=y$ . Et donc : $\phi(\psi(x))=\phi(y)$ .

Ainsi : $\sum_{x\in G}\phi(\psi(x))=\sum_{y\in G}\phi(y)$

D'où : $\sum_{x\in G}\phi(ax)=\sum_{x\in G}\phi(x)$

**raymolk** · 26/02/2020, 23h37

Il faudrait que tu mentionnes quelque part que c'est parce que G est fini que la somme est commutative : c'est ça qui rend égales les sommes sur x et sur y (il y a permutation des termes entre les deux).

**ArnoGreg** · 27/02/2020, 23h04

Vous voulez dire écrire que $\phi(\psi(x))=\phi(y)$ implique :

$\sum_{x\in G}\sum_{y\in G}\phi(\psi(x))=\sum_{x\in G}\sum_{y\in G}\phi(y)$

D'une part :
$\sum_{x\in G}\sum_{y\in G}\phi(\psi(x))=\sum_{x\in G}\phi(\psi(x))\sum_{y\in G}1=card(G)\times \sum_{x\in G}\phi(\psi(x))$

D'autre part :
$\sum_{x\in G}\sum_{y\in G}\phi(y)=\sum_{y\in G}\sum_{x\in G}\phi(y)=\sum_{y\in G}\phi(y)\sum_{x\in G}1=card(G)\sum_{y\in G}\phi(y)$
(on peut permuter les symboles sommes ici car G est fini)

Et l'égalité permet d'écrire alors :
$card(G)\times \sum_{x\in G}\phi(\psi(x))=card(G)\sum_{y\in G}\phi(y)$

Soit :
$\sum_{x\in G}\phi(\psi(x))=\sum_{y\in G}\phi(y)$

**raymolk** · 27/02/2020, 23h45

Non, pas besoin de tout ça.
Simplement, puisque ψ est une bijection de G dans G, sommer les φοψ(x) pour x parcourant G revient à effectuer une permutation des termes de la somme des φ(x) (pour x parcourant G de la même façon), par définition de ce qu'est une bijection.
Or toute somme finie est commutative, mais ce n'est pas vrai pour toute somme infinie.

invite9dc7b526 · 28/02/2020, 10h18

Serre utilise la même astuce pour étudier les sommes de puissances dans un corps fini (dans son Cours d'Arithmétique).

**ArnoGreg** · 28/02/2020, 10h54

Je vois, je comprend l'idée.
Je cherche à la formaliser.

Notons $G=\{x_1,\cdots,x_n\}$ ( $G$ étant fini)

Puisque $\psi$ est bijective, alors pour tout $j$ dans $[[1,n]]$ , il existe un unique $i$ dans $[[1,n]]$ de sorte que $\psi(x_i)=x_j$ et donc $\phi(\psi(x_i))=\phi(x_j)$ .

Ainsi : $\sum_{i=1}^n\phi(\psi(x_i))$ $=\sum_{j=1}^n \phi(x_j)$ .

Et donc : $\sum_{i=1}^n\phi(ax_i)=\sum_{i=1}^n\phi(x_i)$

**raymolk** · 28/02/2020, 11h46

Non : dans la formulation finale, tu ne changes pas la manière de parcourir [[1,n]], tu changes juste le nom de l'indice de sommation, ce qui ne change rien.
Par contre, si tu veux détailler, l'idée de représenter G sous la forme {x₁,…,x_n} est effectivement (la) bonne.
Mais une fois que tu as dit que pour tout j dans [[1,n]], il existe un unique i dans [[1,n]], tel que ψ(x_i) = x_j, il faut dire que cela définit une permutation σ de [[1,n]] par σ(i) = j (bien définie pour tout i de [[1,n]], et qui est bien une bijection puisque ψ est une bijection : l'une et l'autre choses sont équivalentes).
Puis, $\sum_{i=1}^n \phi(\psi(x_i))=\sum_{i=1}^n \phi(x_{\sigma(i)})=\sum_{i=1}^n \phi(x_i)$ car la somme est finie.

**ArnoGreg** · 01/03/2020, 13h04

Admettons, par exemple, que $G=\{x_1,x_2,x_3,x_4\}$ .

Puisque $\psi$ est bijective, alors pour tout $j$ dans $[[1,n]]$ , il existe un unique $i$ dans $[[1,n]]$ de sorte que $\psi(x_i)=x_j$ .

Par exemple :
$\psi(x_1)=x_1$
$\psi(x_2)=x_3$
$\psi(x_3)=x_4$
$\psi(x_4)=x_2$

Cela définit une permutation de $S_4$ , à savoir avec cet exemple $\sigma=$ $\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&3&4&2\end{pmatrix}$ , de sorte que $\psi(x_i)=x_{\sigma(i)}$ .

Et ainsi :
$\sum_{i=1}^4 \phi(\psi(x_i))=\sum_{i=1}^4 \phi(x_{\sigma(i)})=\sum_{i=1} ^4 \phi(x_i)$

Merci, j'ai vraiment bien compris cette fois

**Médiat** · 01/03/2020, 13h24

cf. message #4

**ArnoGreg** · 01/03/2020, 13h45

Oui, ce message disait exactement cela.
Mais j'avais besoin de le formaliser.
Merci à tous

**raymolk** · 01/03/2020, 14h39

Envoyé par ArnoGreg

Merci, j'ai vraiment bien compris cette fois

C'est ce qu'il faut, et pour ce faire, pousser jusqu'au bout ses besoins de formalisation est souvent un bon moyen

.

Somme de morphisme

Somme de morphisme

Re : Somme de morphisme

Re : Somme de morphisme

Re : Somme de morphisme

Re : Somme de morphisme

Re : Somme de morphisme

Re : Somme de morphisme

Re : Somme de morphisme

Re : Somme de morphisme

Re : Somme de morphisme

Re : Somme de morphisme

Re : Somme de morphisme

Re : Somme de morphisme

Re : Somme de morphisme

Re : Somme de morphisme

Re : Somme de morphisme

Re : Somme de morphisme

Re : Somme de morphisme

Re : Somme de morphisme

Re : Somme de morphisme

Re : Somme de morphisme

Re : Somme de morphisme

Discussions similaires

Morphisme

morphisme

Déterminer le taux d'intérêt à partir de la somme investie et de la somme de fin de placement ?

Sous-directe somme, morphisme d'anneaux et injectivité.

[TS+] Morphisme de R