Somme de morphisme

[ArnoGreg]

Bonjour,

je fais un exercice dans lequel j'ai une interrogation que je n'arrive pas à lever.

On considère est un morphisme non constant du groupe fini vers le groupe .

Je dois calculer .

Puisque n'est pas constant, je sais qu'il existe de sorte que .

On considère l'application de dans définie par .

Alors est une injection entre deux ensembles finis de mêmes cardinaux, donc une bijection.

Et là vient le point de blocage :

Pourquoi puis-je alors écrire que : ? Je ne comprends pas trop.

Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour.



Cordialement.

[ArnoGreg]

Je vois.

De ce que je comprends, on fait un changement de variable , et comme alors . D'où l'égalité que vous obtenez.

Mais donc, en quoi était-il nécessaire de parler de la bijection ?

[Médiat]

Bonjour,

On peut voir une bijection comme une permutation des éléments, ce qui ne change pas la somme

Autre explication : si l'application n'était pas surjective, il manquerait des éléments dans la somme

Si l'application n'était pas injective ... je vous laisse finir

[A voir en vidéo sur Futura]

[ArnoGreg]

C'est justement ce que je n'arrive pas à voir.

Si , alors est , c'est la même chose ?

[Médiat]

Comme je vous l'ai dit une bijection n'est qu'une permutation des x, y, z, alors x + y + z ou z + x + y, oui, c'est pareil

[ArnoGreg]

Je ne dois pas le voir parce que je pense en terme de fonction certainement.

Par exemple est une bijection.

Pourtant, ça n'est pas comme .

Je m'y perds un peu

[gg0]

Une bijection dans G c'est par exemple
x --> x
y --> z
z --> y
Pourquoi confonds-tu fonction avec calcul ? Et ton exemple de bijection est mal foutu, tu ne dis pas dans quel ensemble tu travailles. De [0,1] dans [0;2], l'application x--> x+1 n'est pas une bijection. Et de G dans G ça n'a aucun sens.
Il te faut revoir de près les notions de fonction (application) et de bijection.

Cordialement.

[ArnoGreg]

Je crois mieux comprendre.

Je suppose pour fixer les idées que .

est une bijection de dans .

Donc de sorte que .

Et par suite .

Donc .

[raymolk]

Oui (modulo la faute de frappe ), mais là G n'est pas particulièrement un groupe, il peut tout aussi bien être seulement un ensemble et ψ être n'importe quelle bijection.
Si bien que tu ne réponds toujours pas à la question de départ : que vaut la somme des φ(x) pour x dans G si φ est un morphisme non constant de G dans (C^*, .) ?

[ArnoGreg]

Oui, c'est vrai.
Mais la suite je l'ai comprise.

puisque est un morphisme.

Alors : et comme , cela impose .

[ArnoGreg]

Que pensez-vous de la rédaction suivante ?

Puisque est une bijection de dans , alors tout de (à l'arrivée) admet un unique de (au départ) de sorte que . Et donc : .

Ainsi :

D'où :

[raymolk]

Il faudrait que tu mentionnes quelque part que c'est parce que G est fini que la somme est commutative : c'est ça qui rend égales les sommes sur x et sur y (il y a permutation des termes entre les deux).

[ArnoGreg]

Vous voulez dire écrire queimplique :



D'une part :


D'autre part :

(on peut permuter les symboles sommes ici car G est fini)

Et l'égalité permet d'écrire alors :


Soit :

[raymolk]

Non, pas besoin de tout ça.
Simplement, puisque ψ est une bijection de G dans G, sommer les φοψ(x) pour x parcourant G revient à effectuer une permutation des termes de la somme des φ(x) (pour x parcourant G de la même façon), par définition de ce qu'est une bijection.
Or toute somme finie est commutative, mais ce n'est pas vrai pour toute somme infinie.

[minushabens]

Serre utilise la même astuce pour étudier les sommes de puissances dans un corps fini (dans son Cours d'Arithmétique).

[ArnoGreg]

Je vois, je comprend l'idée.
Je cherche à la formaliser.

Notons ( étant fini)

Puisque est bijective, alors pour tout dans , il existe un unique dans de sorte que et donc .

Ainsi : .

Et donc :

[raymolk]

Non : dans la formulation finale, tu ne changes pas la manière de parcourir [[1,n]], tu changes juste le nom de l'indice de sommation, ce qui ne change rien.
Par contre, si tu veux détailler, l'idée de représenter G sous la forme {x₁,…,x_n} est effectivement (la) bonne.
Mais une fois que tu as dit que pour tout j dans [[1,n]], il existe un unique i dans [[1,n]], tel que ψ(x_i) = x_j, il faut dire que cela définit une permutation σ de [[1,n]] par σ(i) = j (bien définie pour tout i de [[1,n]], et qui est bien une bijection puisque ψ est une bijection : l'une et l'autre choses sont équivalentes).
Puis, car la somme est finie.

[ArnoGreg]

Admettons, par exemple, que .

Puisque est bijective, alors pour tout dans , il existe un unique dans de sorte que .

Par exemple :





Cela définit une permutation de , à savoir avec cet exemple , de sorte que .

Et ainsi :


Merci, j'ai vraiment bien compris cette fois

[Médiat]

cf. message #4

[ArnoGreg]

Oui, ce message disait exactement cela.
Mais j'avais besoin de le formaliser.
Merci à tous

[raymolk]

Merci, j'ai vraiment bien compris cette fois

C'est ce qu'il faut, et pour ce faire, pousser jusqu'au bout ses besoins de formalisation est souvent un bon moyen .