Tenseur.

[Curuxa]

Bonsoir à tous, j'aurais besoin d'une petite mise au point sur les tenseurs, je crois que ce que je dis ci-dessous de façon sans doute un peu naïve est correct, pourriez-vous me confirmer ?

Un tenseur c'est :

1) Une forme multilinéaire qui prend la forme d'un gros tas de nombres indicés bas/haut selon que les quantités soient covariantes/contravariantes ;
2) qui se transforme selon la formule ad-hoc.

Par rapport à la transformation du tenseur sous changement de base : elle est faite de sorte que le résultat obtenu lorsqu'on applique la forme multilinéaire à ses arguments (p vecteurs et q covecteurs pour un tenseur (p,q) ) le résultat est invariable sous changement de base ?

Par exemple si selon une base on a : ou alpha est un scalaire, on a dans une autre base un même résultat.

Et c'est là tout l'intérêt du tenseur, de nous fournir un résultat inchangé quelque soit la base choisie - typiquement, le résultat d'un produit scalaire est indépendant d'un changement de base p.ex et ça nous arrange puisqu'on ne voudrait pas avoir des mesures différentes selon des bases différentes.

Merci beaucoup à ceux qui peuvent me confirmer ceci !
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[mach3]

Bonjour,

C'est correct, mais assez réducteur. Les tenseurs (et les vecteurs) ne sont pas de simples tableaux de nombres (l'inverse peut par contre être vrai). Il y a un risque de confondre matrices et tenseurs en pensant ces derniers comme des tableaux de nombres.
Il faut vraiment les penser comme des objets géométriques indépendants de toute représentation, de toute décomposition suivant une base.
Par exemple votre tenseur (1,2), T, agissant sur la 1-forme x et les deux vecteurs y, z, peut être noté :


y et z sont des éléments d'un espace vectoriel V, x un élément du dual V* de cet espace vectoriel (l'ensemble des formes linéaires sur V qui est aussi un espace vectoriel) et T est un élément du produit tensoriel

Si on choisit une base de V, , alors il existe une base dans V*, dite duale, telle que (1 si i=j, 0 sinon) (il s'agit de l'application des 1-formes de la base dual sur les vecteur de la base).

Si on applique T sur des formes et vecteurs de ces bases, on obtient un coefficient du tenseur qui dépend de ces bases :


est un scalaire, pas un tenseur, c'est l'image du triplet par l'application trilinéaire qu'est le tenseur T.

La forme x et les vecteurs y et z peuvent être écrits comme combinaisons linéaires des formes et vecteurs de base :
(j'omets le symbole de sommation sur i, c'est la convention d'Einstein pour alléger les expressions)



Du coup on a :



Comme T est linéaire sur tout ses arguments, on a :

(les symboles de sommations sur i, j et k étant omis)

et donc :



Souvent dans les cours et les présentations, une espèce de raccourci plus ou moins implicite amène à penser que est une forme, et sont des vecteurs et est un tenseur. Or, n'est pas une forme, et ne sont pas des vecteurs et n'est pas un tenseur. Ce sont des scalaires, les composantes suivant la base choisie (et sa base duale) de la forme, des vecteurs et du tenseur.

m@ch3

[Amanuensis]

Point par point:

Un tenseur c'est :

1) Une forme multilinéaire qui prend la forme d'un gros tas de nombres indicés bas/haut selon que les quantités soient covariantes/contravariantes

Oui, un tenseur peut être vu comme un opérateur linéaire ou multilinéaire opérant sur des combinaisons de vecteurs et de formes linéaires.

Un indice bas indique un argument de type vecteur (contravariant, qui est noté avec un indice haut, et donc l'action du tenseur se traduit par une contraction en l'indice bas côté tenseur et l'indice haut de l'argument). Pour un indice haut, pareil en permutant les mots haut et bas, et contravariant par covariant.

2) qui se transforme selon la formule ad-hoc.

Par rapport à la transformation du tenseur sous changement de base : elle est faite de sorte que le résultat obtenu lorsqu'on applique la forme multilinéaire à ses arguments (p vecteurs et q covecteurs pour un tenseur (p,q) ) le résultat est invariable sous changement de base ?

Correct, c'est la notion de "covariance" avec une signification différente que dans l'opposition entre covariant et contravariant.

Par exemple si selon une base on a : ou alpha est un scalaire, on a dans une autre base un même résultat.

oui

Et c'est là tout l'intérêt du tenseur, de nous fournir un résultat inchangé quelque soit la base choisie -

Pas vraiment. L'intérêt des tenseurs c'est de pouvoir parler d'opérateurs multilinéaires, la physique regorgeant de tels opérateurs !

Ce dont on parle ici est des coordonnées. Un tenseur étant un opérateur intrinsèque, indépendant de tout système de coordonnées, il n'y a qu'un seul résultat possible. La notation est liée à des contraintes sur les coordonnées des objets, pas sur les objets. La contrainte est que quand on les met en coordonnées (quelles qu'elles soient) cette mise en coordonnées doit être faite de manière cohérente (contrainte par les linéarités). Donc, en partant de deux systèmes définis seulement pour les vecteurs, on en déduit comment doivent se modifier les coordonnées des autres grandeurs apparaissant dans une équation tensorielle. Il faut que les coordonnées soient modifiées (varient) de manière cohérente (co-varient -> covariance).

typiquement, le résultat d'un produit scalaire est indépendant d'un changement de base p.ex et ça nous arrange puisqu'on ne voudrait pas avoir des mesures différentes selon des bases différentes.

Oui. Le résultat étant intrinsèque ("pas avoir des mesures différentes selon des bases différentes."), les coordonnées ne peuvent pas changer n'importe comment.

Attention au produit scalaire. Le "produit" le plus simple est l'action d'une forme sur un vecteur . Cette opération est intrinsèque, ce qui impose la manière dont changent les coordonnées d'une forme.

Un produit scalaire est un tenseur d'ordre 2 , le résultat est intrinsèque, ce qui impose la manière dont changent les coordonnées de la métrique .

[Curuxa]

Merci à vous deux ! Vraiment.

Je me suis nourri de vos messages, j'étais au milieu d'une rédaction et dans le rush je n'ai pas pris le temps de vous remercier mais vos réflexions m'ont été bien utiles et m'ont conforté dans mon approche et dans ma conception de l'objet. J'entends bien vos remarques.

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