ALGEBRE LINEAIRE noyau, base et dimension

[malakasolo]

Bonjour,

je decouvre actuellement les applications linéaires ainsi que les exercices qui y sont associées mais je ne comprends pas une chose sur la determination du noyau.

voici l'enoncé: Capture d’écran 2020-04-08 à 22.07.10.jpg Capture d’écran 2020-04-09 à 09.04.23.jpg

J'ai réussi à faire les questions a,b mais je bloque sur la c ,sur la determination du noyau.

pour déterminer le noyau, : On cherche x e E | f(x) = o ->

J'ai pris la matrice A que j'ai ensuite mis sous forme d'équation mais après es je ne sais pas ce qu'il faut faire. Notre professeur nous a donné un corrigé mais je ne comprends pas ce qu'il fait.. Dans son corrigé , il obtient : kerf (A) { (0 , 0 , x3, -x3 , x3 , x3) } . En regardant des videos explicatives sur internet , j'ai vu qu'il fallait échelonner et reduire mais ici je ne vois pas comment on peut faire et ensuite aboutir au resultat ci dessus.

Est ce que quelqu'un peut m'expliquer pourquoi et comment on obtient : kerf (A) { (0 , 0 , x3, -x3 , x3 , x3) } ? svp

merci
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[gg0]

Bonjour.

C'est la définition du noyau :
Donc tu appliques :
et sont des vecteurs de donc des sextuplets (suites de 6 nombres), tu écris l'égalité qui se traduit par un système de 6 équations linéaires.
Tu résous ce système par la méthode que tu veux (tu as déjà résolu des systèmes plus simples - tu laisses tomber l'équation qui donne 0=0 - comme il y a une infinité de solutions, tu peux choisir une variable et calculer les autres en fonction de celle-ci; je te conseille x₃, comme ton prof).

Bon travail !

[malakasolo]

Merci de m'avoir repondu et de m'avoir indiquer la méthode !
J'ai posé x3= t puis j'ai remplacé ce qui m'a donné :
x1 =0 ; x2 = 0 ; t-x6 =0 ; x4+x6 = 0 ; x5-x6 = 0
J'ai isolé les t puis remplacé lorsque cela était possible :
x1 =0 ; x2 = 0 ; t=x6 ; x4+t = 0 ; x5-t = 0
<=> x1 =0 ; x2 = 0 ; t=x6 ; t = -x4 ; t = x5
A partir de ces equations j'ai ensuite fait : t * (0, 0, 1, 1, -1, 1) où (0, 0, 1, 1, -1, 1) <=> (x1,x2,x3,x6,-x4,x5)
Ce qui fait que dans ce sens je ne trouve pas le bon resultats mais si je remets dans l'ordre , je trouve la meme chose que dans le corrigé. Doit - on faire cela meme si au depart ce n'etait pas le bon ordre ?


De plus , j'ai plusieurs questions : - On peut poser n'importe quelle xi = t (ou s, z, etc par exemple) ,
- la méthode sera toujours la même peut importe l'ensemble départ et d'arrivée (ex si l'on a R^3 -> R^6)?
- Comment sait on combien de variables doit on poser ?

Merci

[gg0]

Tu t'es trompé :
"t-x6 =0 ; x4+x6 = 0 " donne x6=t, x4 = - x6 =-t.
Et on trouve comme ton prof.

" On peut poser n'importe quelle xi = t (ou s, z, etc par exemple) " A priori non, car x1 et x2 sont déjà connus. Mais tu peux prendre x4, x5 ou x6 = à une variable (t ou s ou z, etc.) et tu verras que tu retrouve le même résultat (malgré le changement de signe si tu prends x4=t).
" la méthode sera toujours la même peut importe l'ensemble départ et d'arrivée " pour ce type de question, oui. Mais voir la suite
"Comment sait on combien de variables doit on poser ?". On ne le sait pas. On regarde si le système se résout. Si on tombe sur moins d'équations que de variables, on pose le nombre d'égalités nécessaires pour rétablir l'équilibre. Si tu es déans une formations scientifique, tu verras (avec les déterminants) comment traiter les systèmes en général.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[malakasolo]

En effet , je viens de remarquer.
Merci en tout cas pour l'aide et les explications.