Base de noyau d'une application linéaire

[invite0e7e2b76]

Bonjour,
soit f : R^3 dans R^3
Si le ker(f) est réduit à 0 qu'elle est une base de ker(f).??
je crois que ker(f) n'a pas de base car n'est engendré par aucun vecteur ( en fait ker(f) = vect {(0,0,0)} mais le vecteur nul n'a pas de sens)
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[invite57a1e779]

Si ker(f) est réduit à {0}, il a une base vide constituée de 0 vecteurs : dim{0} = 0.

Conformément à la définition {0} est le plus petit (au sens de l'inclusion) espace vectoriel contenant l'ensemble vide.

[invite0e7e2b76]

Merci beacoup.
Autre question si j'ai un endomorphisme f définie par f(P) = (X+1)P' + P avec P dans R_2[X]

comment montre que f est un endomorphisme inversible, et comment calculer son inverse??

Merci

[invite57a1e779]

En utilisant sa matrice dans la base canonique, ou une autre base plus adaptée au problème ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0e7e2b76]

je vois pas bien ce que vous voulez dire j'ai pas pu calculer la matrice de f dans la base canonique.
Ce que j' ai fait est le suivant je montre que ker(f) est différent de 0
donc soit P dans ker(f) ceci est équivalent à f(p)=0 c-à-d (X+1)P' +P=0 est ceci est une équation différentielle dont la solution est m(1+X) avec m dans R
donc on a bien ker(f) différent de 0 c-àd f inversible

Est ce que c'est juste ma solution???
Merci

[invite23cdddab]

Si le noyau n'est pas {0}, alors l'endomorphisme n'a aucune chance d'être inversible.

En effet, si on a a et b dans le noyau, alors f(a) = f(b) = 0. Mais si f était inversible, on aurai f^(-1) (0) = a et f^(-1) (0) = b : contradiction

[invite0e7e2b76]

S'il vous plait est ce que vous pouvez m'aider à résoudre ce problème en détail je me sens coincé
j'ai f(P) = (X+1)P' + P avec P dans R_2[X]
je dois montrer que f est inversible et puis calculer son inverse
Merci

[invite0d104c01]

Déjà Ce n'est pas faux de passer par le noyau et de résoudre l'équation différentielle en polynômes Mais cette équation va te donner que P=0 (Il suffit de poser et d'égaliser les termes, tu auras un système facile ). Donc tu auras Ker(f)=0 ==> f inversible.
Mais il vaut mieux passer par la matrice dans la base canonique car ça va te donner l'inverse en même temps : Il suffit de calculer f(1), f(X) et f(X²) et d'écrire la matrice dont le rang sera égal à 3 donc elle est inversible. Ce qui donne que f est inversible. Après pour calculer l'inverse tu peux appliquer le pivot de Gauss sur la matrice de f pour avoir l'inverse de la matrice et en déduire l'inverse de l'endomorphisme je crois.

[invite0e7e2b76]

ah oui ok merci beacoup