Bonjour
J'ai encore un exercice corrigé dont l'énoncé est : Déterminer la matrice de la rotation R de R^3 dans une base orthonormée (i,j,k) telle que R(u)=u où u=(1/3,-1/3,1/3) et R(i)=k. Donner son angle de rotation.
La correction :
La matrice de R s'écrit :
R(i) R(j) R(k)
0 a a' i
0 b b' j
1 c c' k
Cette matrice est orthogonale, donc les vecteurs-colonnes forment une base orthonormale. Ainsi <R(i),R(j)>=0 donc c=0. De la même manière, c'=0.
De plus ||R(j)||=||R(k)||=1 donc a²+b²=1 et a'²+b'²=1.
On a aussi <R(j),R(k)>=0 donc aa'+bb'=0.
Et on a det A = 1 donc : ab'-a'b=1.
Jusqu'ici je comprends mais c'est ce fameux R(u)=u que je ne comprends pas.
De ce fait on tire :
a+a'=1 et
b+b'=-1.
Pourquoi ?
R(j)=j et R(k)=k ?
Je ne vois pas comment ils ont obtenu ces équations.
Ensuite je passe le développement on finit par trouver les coefficients, on finalement obtient la matrice :
0 -1 0
0 0 -1
1 0 0
L'angle de rotation je comprends. On trouve cos=-1/2 et =+/- 2/3.
Et pour sin rebelote, je ne comprends pas....
Prenons un vecteur quelconque, par exemple, x=(1,0,0).
On a R(x)=(0,0,1) et l'axe de rotation de R est u.
Là ils calculent le déterminant et trouve finalement que =2pi/3.
Ce que je ne comprends pas, c'est :
- Comment ils ont trouvé, avec la condition R(u)=u :
a+a'=1 et
b+b'=-1
- Comment ils ont trouvé que R(x)=(0,0,1), que l'axe de rotation est u ?
Je n'arrive pas à comprendre, même si ça paraît un peu bête... Je bloque !
Merci, bonne journée !
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