noyau application lineaire

[alpagas]

Bonjour,

Je suis en panne sur cette exo car je ne vois pas trop comment demarrer.

Soit V un espace vectoriel de dimension n et S une application linéaire sur V.

si Sⁿ=0 mais S^n-1 !=0 alors determiner dim Ker(S).

Auriez vous une piste ?

merci
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[silk78]

Bonjour,

Un moyen d'étudier ça : soit x appartenant à V tel que S^n-1(x) soit non nul.
Que peut-on dire de la famille F=(x,S(x),...,S^n-1(x)) ?

Silk

[alpagas]

la famille F=(x,S(x),...,S^n-1(x)) est génératrice ?

ça ressemble à la limite d'une application linéaire dont la valeur serait nulle au dela du rang n-1

[Tiky]

C'est même mieux que ça. C'est une base de E. Et appartient à quel sous-espace vectoriel ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[alpagas]

cette famille appartient au sous espace vectoriel

Somme de i=1à n-1 ( Sⁱ ) ?

[Tiky]

Tu ne sais pas que :

[alpagas]

d'accord,
j'imagine que chaque image est incluse dans celle de rang superieur car S(V) x S(V) x .... défini une intersection de plus en plus petite

du coup peut-on ecrire

ker(S^n-1)={x appartient à S^n-1(x) / Sⁿ(x) }
ker(S^n-2)={x appartient à S^n-2(x) / S^n-1(x) }
.
.
.
ker(S)={x appartient à S(x) / S^-1(x) }

?

[Tiky]

Oulala quel charabia ^^.

Tout d'abord ne peut pas être un espace vectoriel puisqu'il ne contient pas le vecteur nul. Or le noyau d'une application linéaire est toujours un espace vectoriel.

Ensuite, je ne vois pas pourquoi vous faites intervenir un produit d'ensemble...

La démonstration de l'assertion est très simple.
signifie qu'il existe un tel que . Donc est l'image par de . Ce qui prouve que y est dans

On en déduit que la famille libre est dans et donc . Si , alors S est inversible et il en est de même de qui ne peut être l'application nulle.
Par conséquent, et le théorème du rang assure que

[Seirios]

On peut également regarder la tête de la matrice dans la base F.

[alpagas]

ok, merci Tiki pour cette réponse
j'étais à l'ouest complet