Comparaison de rang

[invite2b14cd41]

Salut.
On me donne une matrice à coefficients entiers. Je dois comparer son rang dans R, C, Q et Z/pZ, p premier. (Dans Z/pZ on prend les représentants modulo p). Pour les 3 premiers (C, R, Q) je dirait que les rangs sont égaux, vu que Z est un sous-anneau de Q engendré par 1.
Pour la comparaison entre Z/pZ et R, je ne sais pas trop. Intuitivement, je dirais que le rang est inférieur dans Z/pZ, ce corps étant plus petit...

Evidemment, je ne démontre rien, c'est pourquoi je fais appel à votre aide précieuse
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[Seirios]

Bonjour,

Une piste : d'abord, considère plutôt la dimension du noyau, ce qui reviendra à étudier l'espace des solutions d'un système linéaire (au final, le théorème du rang permet de revenir au rang) ; remarque ensuite que si L est un surcorps de K, alors toute famille à valeurs dans libre dans est libre dans .

Par exemple, pour et : soit une base de l'espace des solutions du système linéaire associée au noyau. Pour tout i, soit il existe un complexe z tel que , auquel cas on pose , soit on passe au suivant. On extrait donc une famille libre dans et donc dans . On peut également montrer que cette famille est génératrice (en raisonnant par l'absurde par exemple, s'il y avait un vecteur qui n'était pas engendré par cette famille alors ne serait pas une base). Or , donc en passant par le théorème du rang, on obtient : .

Mais il y a peut-être plus mieux.

[Seirios]

On peut également montrer que cette famille est génératrice (en raisonnant par l'absurde par exemple, s'il y avait un vecteur qui n'était pas engendré par cette famille alors ne serait pas une base).

En fait ce passage n'est pas correctement jusitifié.

[invite2b14cd41]

En effet je n'ai pas très bien saisi votre démo par l'absurde...

D'autant plus que dans ma question, la matrice était à coefficients entiers, donc je pense qu'il y a égalité des rangs. Sans toutefois réussir à le montrer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

En fait, une famille de vecteurs de est -libre ssi elle est -libre (un sens est immédiat, l'autre se fait grâce aux parties réelle et imaginaire). Donc si on prend une base de solutions réelles, cette famille sera encore libre dans , donc .
Mais peut-être que l'autre inégalité se démontre également.

[Seirios]

Il y a finalement beaucoup plus simple : soient deux corps , et . Soit . Alors il existe telles que (en notant une matrice diagonale contenant r 1 et sinon que des 0). Or , donc . Il y a toujours égalité, le rang est un invariant par rapport au corps de base (intéressant, je ne le savais pas ).

[invite2b14cd41]

Il y a finalement beaucoup plus simple : soient deux corps , et . Soit . Alors il existe telles que (en notant une matrice diagonale contenant r 1 et sinon que des 0). Or , donc . Il y a toujours égalité, le rang est un invariant par rapport au corps de base (intéressant, je ne le savais pas ).

Merci, ca me plaît comme démo. Mais elle ne s'applique pas pour Z/pZ.

[Seirios]

Pourquoi ? On peut considérer comme un sous-corps de .

[invite2b14cd41]

Pourquoi ? On peut considérer comme un sous-corps de .

Z/pZ n'est pas inclus dans Q, sauf erreur.

[Seirios]

Non, mais il y a une morphisme de corps injectif canonique et on confond souvent avec .
Au pire, tu peux refaire la démonstration proprement en introduisant cette injection, cela devrait marcher.

[invite2b14cd41]

Non, mais il y a une morphisme de corps injectif canonique et on confond souvent avec .
Au pire, tu peux refaire la démonstration proprement en introduisant cette injection, cela devrait marcher.

Je ne crois pas. Contre exemple:
22
22

de rang 1 dans R, de rang 0 dans Z/2Z

[Seirios]

Mais la matrice correspondante est , donc il n'y a pas de problème.

[invite2b14cd41]

Ma question n'était peut-être pas bien formulée.
On veut comparer les rangs entre la matrice M et M' (p premier) ou M' est la matrice déduite de M en prenant tous les coefficients modulo p.

EDIT: coeff de M entiers bien sur, et le fait qu'elle soit carré importe peu (ou pas du tout).

[Seirios]

Cela dit, j'ai tout de même un doute, je ne suis plus si sûr que l'on puisse considérer Z/pZ comme un sous-corps de Q dans la mesure où l'image de Z/pZ par l'injection n'est pas un sous-corps de Q (j'ai peut-être parlé un peu vite).

[Seirios]

Ma question n'était peut-être pas bien formulée.
On veut comparer les rangs entre la matrice M et M' (p premier) ou M' est la matrice déduite de M en prenant tous les coefficients modulo p.

EDIT: coeff de M entiers bien sur.

Vu comme ça, ton contre-exemple est tout à fait correcte.
Je crois que je me suis quelque peu embrouillé, il vaut mieux oublié ce que j'ai dit sur Z/pZ

[invite2b14cd41]

Je pense avoir trouver une démo cet aprèm , j'aimerai votre avis svp :
Enoncé:

Ma question n'était peut-être pas bien formulée.
On veut comparer les rangs entre la matrice M et M' (p premier) ou M' est la matrice déduite de M en prenant tous les coefficients modulo p.

EDIT: coeff de M entiers bien sur, et le fait qu'elle soit carré importe peu (ou pas du tout).

Démo:

Soit r le rang de la matrice à coefficients dans obtenue en réduisant les coefficients de modulo . Il existe donc r vecteurs colonnes (, ...,) de formant une famille libre de (m taille de la matrice supposée carrée). Donc, en reprenant cette fois les vecteurs correspondant dans , ie ceux de la matrice , on a:
si , "à multiplication près", tous les sont des multiples de p. (En effet, je dit "à multiplication près" dans le sens ou tous les peuvent être pris entiers, puisque les coefficients de étant entiers, et Z peut être vu comme un sev de dim 1 pour R, vu comme Q-ev). On aimerait prouver que cela implique que tous les sont nuls. Si tel n'est pas le cas on aboutit à une absurdité.
En effet, soit , tel que , n entier non nul, et tel que . On aurait alors une combinaison linéaire des autres (i<>j), or ceci implique que n et tous les autres [;\lambda_j;] soient multiples de p... (donc nuls en fait, par récurrence infinie).

J'espère que c'est valable.

[invite2b14cd41]

et Z peut être vu comme un sev de dim 1 pour R, vu comme Q-ev

Grosse bêtise ici, évidemment, c'est Q le sev, et on multiplie par le ppcm des dénominateurs, pour retourner dans Z. Sinon j'espère que le reste est bon.

[Seirios]

En effet, soit , tel que , n entier non nul, et tel que . On aurait alors une combinaison linéaire des autres (i<>j), or ceci implique que n et tous les autres [;\lambda_j;] soient multiples de p... (donc nuls en fait, par récurrence infinie).

C'est assez flou...Si j'ai bien compris ton argument, tu peux le reformuler comme ceci : on montre facilement par récurrence que, pour tout , les sont divisibles par , ce qui implique qu'ils sont tous nuls (un nombre non nul n'un qu'un nombre fini de diviseurs).

[invite39876]

Cela dit, j'ai tout de même un doute, je ne suis plus si sûr que l'on puisse considérer Z/pZ comme un sous-corps de Q dans la mesure où l'image de Z/pZ par l'injection n'est pas un sous-corps de Q (j'ai peut-être parlé un peu vite).

BOnjour!
Il me semble que Z/pZ n'est pas un sous corps de Q,et que d'ailleurs il n'existe aucun morphisme de Z/pZ dans Q.

[invite39876]

Et pour la matrice il me semble qu'on ne peut rien dire, mis a part que son rang dans Z/pZ va diminuer.

[Seirios]

Il me semble que Z/pZ n'est pas un sous corps de Q,et que d'ailleurs il n'existe aucun morphisme de Z/pZ dans Q.

Il n'existe pas de morphisme de corps de Z/pZ dans Q pour les lois usuelles. En effet, si était un tel morphisme, on aurait ce qui est contradictoire.
C'est pourquoi il faut oublier ce que j'ai dit.

[Seirios]

Et pour la matrice il me semble qu'on ne peut rien dire, mis a part que son rang dans Z/pZ va diminuer.

C'est ce que démontre pol92joueur, mais on ne peut effectivement pas trouver mieux : le contre-exemple de pI montre qu'il n'y a pas toujours égalité, et I montre que l'inégalité n'est pas toujours stricte.

[invite39876]

ON peut meme montrer que tous les cas sont possibles, on peut toujours construire une matrice a coeff dans Z de rang r, telle que sa reduite soit de rang r-i (pour i compris entre 0 et r).

Pour Z/pZ et Q, bien sur que ce sont pour les lois usuelle (enfin il n'y a qu'une seule structure de corps sur Z/pZ cela dit). En fait, y a pas non plus de morphisme de groupe (non nul).