Noyau application linéaire

[invitec9ce11c9]

Je ne parviens pas à poser le problème de façon claire, voici mon énoncé :

Exercice. Soit f : R3 => R2 l'application linéaire définie par


f(5,0,0) = (45,-10)
f(7,-8,9) = (143,-40)
f(-9,-8,3) = (-49,4)

et soit S le noyau de f . Trouver une base de S.

Je pense intuitivement que S est de dimension 1, mais, je n'ai aucune idée de la méthode à utiliser tel que l'exercice est présenté.
Si quelqu'un peut m'indiquer comment faire, merci.
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[silk78]

Bonjour,

Bonjour, le moyen le plus rapide est sans doute de passer par le théorème du rang.
On sait que l'image de f, que je noterais I, est compris dans R² donc sa dimension est au plus de 2. De plus tu as déjà trois vecteurs dans I, donc si deux d'entre eux sont libres, alors la dimension de I sera 2 et il ne restera plus qu'à conclure sur la dimension de S.

Bonne chance,
Silk

[invitec9ce11c9]

Merci beaucoup silk78, mais, la question principal de cet exercice porte sur la base du noyau de l'application, pas que sur sa dimension...

[silk78]

Arff oui, mal lu l'énoncé !

Le fait de savoir la dimension est toujours utile quand même, comme ça tu sais que dès que tu auras trouvé un vecteur, tu n'auras plus à en chercher d'autres.
Par contre, pour trouver le vecteur je vois pas d'autre moyen que de faire un peu de calculs. Si tu notes u₁=(45,-10), u₂=(143,-40) et u₃=(-49,4), alors tu peux trouver x₁, x₂ et x₃ tels que x₁u₁+x₂u₂+x₃u₃=0 (en résolvant un système linéaire).
Ensuite en écrivant e₁=(5,0,0), e₂=(7,-8,9) et e₃=(-9,-8,3), tu as x₁e₁+x₂e₂+x₃e₃ qui appartient au noyau et qui est non nul : tu as donc trouvé une base du noyau.

Bonne chance,
Silk

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec9ce11c9]

Merci beaucoup silk!
Donc, si j'ai bien compris, le noyau est de dimension 1, et, avec les notations que tu as utilisé, mon vecteur base de S serait (x₁,x₂,x₃)
C'est bien ça?

[silk78]

De rien
Ton vecteur base aura pour coordonnées (x₁,x₂,x₃) dans la base e₁,e₂,e₃ de R³ parce qu'il est égal à x₁e₁ + x₂e₂ + x₃e₃.
Par contre il ne vaudra pas (x₁,x₂,x₃). Si tu veux trouver ses coefficients il faut calculer x₁e₁ + x₂e₂ + x₃e₃ une fois que tu as déterminé x₁, x₂ et x₃.

[invite15b2900e]

Je ne parviens pas à poser le problème de façon claire, voici mon énoncé :

Exercice. Soit f : R3 => R2 l'application linéaire définie par


f(5,0,0) = (45,-10)
f(7,-8,9) = (143,-40)
f(-9,-8,3) = (-49,4)

et soit S le noyau de f . Trouver une base de S.

Je pense intuitivement que S est de dimension 1, mais, je n'ai aucune idée de la méthode à utiliser tel que l'exercice est présenté.
Si quelqu'un peut m'indiquer comment faire, merci.

Si j'ai bien compris:
Donc on recherche la base [(M)] appartiens à S dans R3 où les vecteurs V1=(5,0,0),V2=(7,-8,9)et V3= (-9,-8,3) auraient pour valeurs sur la base canonique

les valeurs respectivement (45,-10,0) (143,-40,0) et (-49,4,0)
Posons [M] la base que l'on recherche on obtiens:
=
=
=