Bonjour
J'aimerais calculer:
où D est le domaine définit par:
J'ai trouvé I(2)=1/2 et I(3) = 1/6
On peut deviner I(n)=1/n! ?
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Bonjour
J'aimerais calculer:
où D est le domaine définit par:
J'ai trouvé I(2)=1/2 et I(3) = 1/6
On peut deviner I(n)=1/n! ?
Bonjour.
Tu aimerais calculer, vas-y, calcule. Il semble assez évident qu'une récurrence devrait fonctionner.
Bon travail personnel !
Une piste éventuelle préparer l'itération.
regarde ce que donne
avec
et
oùest le domaine définit par:
![]()
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
"ce que donne", c-a-d en fonction de![]()
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
Tu penses à une dérivation par rapport à?
Les conditions sont les mêmes que ceux qui définissent un simplexe standard (SS) et ton intégrale (multiple) a l'intégrale d'une fonction différentiable w(x)=1 sur (SS)= l'intégrale d'une forme différentielle....
une balade dedans si tu'as le temps...
Dernière modification par azizovsky ; 10/04/2020 à 17h04.
Dernière modification par ansset ; 10/04/2020 à 17h21.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
azizovsky dit que mon intégrale In correspond au volume d'un simplexe (triangle en dimension quelconque)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Simple..._r%C3%A9gulier
OK, c'est exact et cela "donne" immédiatement le résultat.
ceci dit, il me semble que ton exercice est de le démontrer dans la formule proposée.
sauf si ce n'est pas demandé , dans ce cas "l'hyper volume" s'obtient directement.
bref, tout dépend du contexte de l'exercice.
et merci à azizovsky pour cette piqure de rappel.
Dernière modification par ansset ; 10/04/2020 à 17h30.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
@ansset
J'ai trouvé un document qui explique très bien la méthode à utiliser:
http://andallthatjazz.bplaced.net/wp...03/Simplex.pdf
Effectivement il fallait travailler avec un coté de longueur a (ça ne s'invente pas)
Puis après avoir calculé I_1(a), I_2(a) et I_3(a) postuler I_n(a) = a^n/n! et le
démontrer par récurrence.
Puis écrire les intégrales avec les variables dans le bon ordre, et dans le bon sens
Par exemple pour I_2 j'écrivais:
Sous cette forme la récurrence ne saute pas aux yeux
Mais on a aussi:
On fait de même pour I_n(a) et on trouve I_n(a)= a^n/n! CQFD
Oui, c'est exactement ce que je te proposais ( sans connaitre ce lien ).(*)
ben c'est au contraire la forme que je trouve la plus simple pour la récurrence.Sous cette forme la récurrence ne saute pas aux yeux
(*) dommage que tu n'ais pas cherché à me suivre plutôt que de chercher une démo qui s'avère être la même.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
Edit :
en fait ma démarche consiste à montrer d'abord que In(a)=a^nIn.
ta démo semble un peu différente
reste qu'une fois démontré que In(a)=a^n/n! , il reste une petite étape , mais je suppose que tu l'as faite
Dernière modification par ansset ; 11/04/2020 à 09h14.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
désolé de cette réponse multiple ( pas sur d'avoir été clair )
en fait, on a juste besoin de montrer que In(a)=a^nIn pour montrer la récurrence sur In.
et c'est plutôt simple en emboitant les intégrales dans le bon ordre.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
oui j'ai bien vu que In(a)=a^n In(1) par changement de variable x_i = a y_i
Logique pour un calcul de volume quand on dilate/rétrécit toutes les dimensions par un facteur a
Le document que j'ai cité établit la relation de récurrence (voir la formule n°7)
avec par hypothèse![]()
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
Bonjour,
une autre manière de procéder (sans récurrence): par le changement de variableson obtient
Pour toute permutationde {1,...,n}, on a
On a donc
d'où
Reformulation géométrique: un cube se décompose en n! simplexes.
c'est joli !![]()
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
Quel intuition 0577 , de l'altération des formes différentielles pour les rendre antisymétriques au intégrales ...![]()
Cette intégrale a une utilité en probabilité
Soient (X1, X2, ... Xn) n variables aléatoires réelles uniformes sur [0, 1]
On a Prob(X1+X2+...+Xn < 1) = I(n) = 1/n!
Et comme je sais calculer cette probabilité autrement, cela fait une méthode de plus pour déterminer la valeur de I(n)
Soient
S1=X1
S2=X1+X2
...
Sn = X1+X2+...+Xn
Soient
F1 = Frac(S1) "Frac" pour partie fractionnaire
F2 = Frac(S2)
...
Fn = Frac(Sn)
F1, F2, ..., Fn sont des v.a.r uniformes sur [0, 1] et indépendantes (C'est important)
On a Prob(X1+X2+...+Xn < 1) = Prob(F1<F2<...< Fn)
Les Fi étant toutes identiques et indépendantes, alors quelque soit la permutation sigma de {1,...,n}
Prob(F1<F2<...< Fn) = Prob(Fsigma(1)<Fsigma(2)<...< Fsigma(n))
La somme sur toutes les permutations possibles des Prob(Fsigma(1)<Fsigma(2)<...< Fsigma(n)) doit faire 1 et il y a n! pemutations
donc Prob(F1<F2<...< Fn) = 1/n!
donc Prob(X1+X2+...+Xn < 1) = 1/n!
donc I(n) = 1/n!
ça ressemble beaucoup à la solution de 0577 mais dans un contexte différent