Intégrale multiple

[jall2]

Bonjour

J'aimerais calculer:



où D est le domaine définit par:


J'ai trouvé I(2)=1/2 et I(3) = 1/6
On peut deviner I(n)=1/n! ?
-----

[gg0]

Bonjour.

Tu aimerais calculer, vas-y, calcule. Il semble assez évident qu'une récurrence devrait fonctionner.

Bon travail personnel !

[ansset]

Une piste éventuelle préparer l'itération.
regarde ce que donne
avec
et

où est le domaine définit par:

[ansset]

"ce que donne", c-a-d en fonction de

[A voir en vidéo sur Futura]

[jall2]

Tu penses à une dérivation par rapport à ?

[azizovsky]

Les conditions sont les mêmes que ceux qui définissent un simplexe standard (SS) et ton intégrale (multiple) a l'intégrale d'une fonction différentiable w(x)=1 sur (SS)= l'intégrale d'une forme différentielle....
une balade dedans si tu'as le temps...

[ansset]

Tu penses à une dérivation par rapport à ?

non aux changements de variable très simple pour écrire en fct de
sachant qu'on peut écrire



en espérant un Latex lisible.
ps: pas compris azizovsky( mais pas réfléchi non plus )

[jall2]

azizovsky dit que mon intégrale In correspond au volume d'un simplexe (triangle en dimension quelconque)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Simple..._r%C3%A9gulier

[ansset]

OK, c'est exact et cela "donne" immédiatement le résultat.
ceci dit, il me semble que ton exercice est de le démontrer dans la formule proposée.
sauf si ce n'est pas demandé , dans ce cas "l'hyper volume" s'obtient directement.

bref, tout dépend du contexte de l'exercice.
et merci à azizovsky pour cette piqure de rappel.

[jall2]

@ansset

J'ai trouvé un document qui explique très bien la méthode à utiliser:
http://andallthatjazz.bplaced.net/wp...03/Simplex.pdf

Effectivement il fallait travailler avec un coté de longueur a (ça ne s'invente pas)
Puis après avoir calculé I_1(a), I_2(a) et I_3(a) postuler I_n(a) = a^n/n! et le
démontrer par récurrence.

Puis écrire les intégrales avec les variables dans le bon ordre, et dans le bon sens
Par exemple pour I_2 j'écrivais:



Sous cette forme la récurrence ne saute pas aux yeux
Mais on a aussi:



On fait de même pour I_n(a) et on trouve I_n(a)= a^n/n! CQFD

[ansset]

Oui, c'est exactement ce que je te proposais ( sans connaitre ce lien ).(*)

Sous cette forme la récurrence ne saute pas aux yeux

ben c'est au contraire la forme que je trouve la plus simple pour la récurrence.

(*) dommage que tu n'ais pas cherché à me suivre plutôt que de chercher une démo qui s'avère être la même.

[ansset]

Edit :
en fait ma démarche consiste à montrer d'abord que In(a)=a^nIn.
ta démo semble un peu différente
reste qu'une fois démontré que In(a)=a^n/n! , il reste une petite étape , mais je suppose que tu l'as faite

[ansset]

désolé de cette réponse multiple ( pas sur d'avoir été clair )
en fait, on a juste besoin de montrer que In(a)=a^nIn pour montrer la récurrence sur In.
et c'est plutôt simple en emboitant les intégrales dans le bon ordre.

[jall2]

oui j'ai bien vu que In(a)=a^n In(1) par changement de variable x_i = a y_i
Logique pour un calcul de volume quand on dilate/rétrécit toutes les dimensions par un facteur a

Le document que j'ai cité établit la relation de récurrence (voir la formule n°7)



avec par hypothèse

[ansset]

Le document que j'ai cité établit la relation de récurrence (voir la formule n°7)

ben il s'avère que la formule 7) de ton doc est exactement la formule proposée dans mon post #7 !
amusant , non ?
juste dommage que tu n'ai pas fini toi-même...
pas grave.
cordialement.

[0577]

Bonjour,

une autre manière de procéder (sans récurrence): par le changement de variables on obtient

Pour toute permutation de {1,...,n}, on a

On a donc

d'où

Reformulation géométrique: un cube se décompose en n! simplexes.

[ansset]

c'est joli !

[azizovsky]

Quel intuition 0577 , de l'altération des formes différentielles pour les rendre antisymétriques au intégrales ...

[jall2]

Cette intégrale a une utilité en probabilité

Soient (X1, X2, ... Xn) n variables aléatoires réelles uniformes sur [0, 1]

On a Prob(X1+X2+...+Xn < 1) = I(n) = 1/n!

Et comme je sais calculer cette probabilité autrement, cela fait une méthode de plus pour déterminer la valeur de I(n)

Soient

S1=X1
S2=X1+X2
...
Sn = X1+X2+...+Xn

Soient

F1 = Frac(S1) "Frac" pour partie fractionnaire
F2 = Frac(S2)
...
Fn = Frac(Sn)

F1, F2, ..., Fn sont des v.a.r uniformes sur [0, 1] et indépendantes (C'est important)

On a Prob(X1+X2+...+Xn < 1) = Prob(F1<F2<...< Fn)

Les Fi étant toutes identiques et indépendantes, alors quelque soit la permutation sigma de {1,...,n}

Prob(F1<F2<...< Fn) = Prob(Fsigma(1)<Fsigma(2)<...< Fsigma(n))

La somme sur toutes les permutations possibles des Prob(Fsigma(1)<Fsigma(2)<...< Fsigma(n)) doit faire 1 et il y a n! pemutations

donc Prob(F1<F2<...< Fn) = 1/n!

donc Prob(X1+X2+...+Xn < 1) = 1/n!

donc I(n) = 1/n!

ça ressemble beaucoup à la solution de 0577 mais dans un contexte différent