intégrale multiple

[invitef0e586a8]

Bonjour !
Aidez moi svp
l'énoncé de l'exo est encadré en rouge
ma réponse :
*** lien sur serveur externe ; prière de lire http://forums.futura-sciences.com/ma...s-jointes.html ***
est ce qu'il y a une erreur ou nn ?
et merci
-----

[ansset]

je me demande si on ne te demande pas plutôt de calculer le "volume" (*) constitué de ta boule de rayon 1 coupée par un cylindre.
car en intégration simple comme tu le fait, tu te retrouves forcement avec des 0 , ayant autant de y >0 que <0.

(*) avec une telle intégration, on calculerait une surface de disque nulle , ainsi que le volume de toute boule.
bref, il n'y aurait pas vraiment d'exercice.

ps: d'autant que tu intègres z de 0 à 1 !? et pas de -1 à 1 !???

[invitef0e586a8]

voila l exo :/

[invitef0e586a8]

et ma réponse

donc le problème est les bornes de l'intégrale

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

je pense que c'est le mot "intégrale" dans l'énoncé qui est déplacé.
en toute logique, on te demande le volume plein à l'intérieur de ta boule et de ton cylindre.
ce qui revient à intégrer pour les valeurs positives de y et z et de multiplier par 4.

[Resartus]

Bonjour,
C'est peut-être en effet une faute de frappe, et il faut lire soit |z] soit z², mais peut-être aussi que le but est de tester l'astuce des candidats
(ceux qui vont être capables d'annoncer zero sans faire aucun calcul grâce aux propriétés de parité vont gagner beaucoup de temps pour la suite)

[invitef0e586a8]

d'accord j'véé esseyer
merci bcp

[invitef0e586a8]

Resartus

Oui c'est une possibilité
certains de mes collègues ont trouvé -pi/2 o.O ,

[ansset]

Si c'est une astuce, elle est grossière.
par ailleurs , le calcul réel du volume est lui intéressant mathématiquement.

donc je crois peu à l'hypothèse du prof tordu . d'autant que l'énoncé semble ( à l'écriture ) daté un peu.

[QueNenni]

"en toute logique, on te demande le volume plein à l'intérieur de ta boule et de ton cylindre" : c'est faut!

[ansset]

par ailleurs, même ramenée au volume , l'intégrale semble fausse.
par pour un z donné : les bornes de
y varie de 0 à ymax(z) et
x varie en fct de y ( et donc de z) , à la fois pour xmin et xmax.

[ansset]

"en toute logique, on te demande le volume plein à l'intérieur de ta boule et de ton cylindre" : c'est faut!

pourquoi ?

[QueNenni]

On a résoudre d'après le message #3 une intégrale triple avec la variable z dans l'intégrale, donc on ne calcule passe simplement le volume commun à la sphère et au cylindre désaxé.

[ansset]

si on ne fait que "l'intégrale" , c'est 0 sans même aucun calcul.
alors que la "figure" proposée et les équations de base montrent bien l'intersection entre une sphère et un cylindre.
ce qui est quand même d'avantage un exercice de math du supérieur. ( si on en cherche le volume )

[ansset]

Et pardon, mais c'est une "intégrale" triple , pas une "intégrale" en z seul.

[ansset]

mais effectivement il y a un z ( en plus ) sous l'intégrale qui rajoute un élément ( si c'est ce que tu voulais dire )

[QueNenni]

Il faut exprimer l'intégrale triple en coordonnées cylindriques et emboiter les intégrales...

[ansset]

oui, c'est une méthode.
par rapport à ma première remarque, je n'avais pas vu qu'il y avait ( en plus ) un z sous l'intégrale.

[QueNenni]

Pour que ce soit résolvable sans grosses difficutées il faudrait que le diamètre du cylindre = rayon de la sphère, ici ce n'est pas le cas.

[ansset]

oui, j'ai regardé un peu, c'est assez lourd comme calcul.
a moins d'une astuce que je n'ai pas vu.
j'ai donc arrêté d'autant que le PP n'est pas revenu.

[Merlin95]

Bonjour,

êtes vous sur que justement ca ne donne pas 0 puisque z varie de -1 à 1 (l'intégrale de -1 à 0 sera égale à - (moins) l'intégrale de 0 à 1) ?

[ansset]

je ne suis sur de rien.
juste que la solution =0 tomberait comme une évidence sans aucun calcul. ( à cause des symétries, celle en y par exemple )
la question est ici posée en math du sup , c'est pourquoi j'ai supposé ( peut être à tord ) qu'il s'agissait d'un truc plus complexe.
et comme le PP n'est jamais revenu, j'arrête de me poser des questions sur le sujet. ( qui est peut être une "blague" du prof )

[Merlin95]

J'ai plutôt l'impression que comme pour z donné l'intégrale sur x et y ne dépend pas du signe de z, on se retrouvera au final lorsqu'on intégrera sur z une fonction impaire (z -> A(z) z) avec A(z) qui ne dépend pas du signe de z), or l'intégrale d'une fonction impaire étant nulle, l'intégrale vaudrait 0.

[ansset]

c'est la même chose en y .
sujet clos pour moi.
Cdt

[invited3a27037]

j'ai essayé de calculer le volume mais je me suis retrouvé face à une intégrale que je ne sais pas calculer.

Wolfram alpha s'en sort en utilisant les intégrales elliptiques, mais ce n'est pas exploitable.

Le cas standard est l'étude de l'intersection sphère/cyclindre avec une sphère de rayon R et un cylindre de rayon R/2, une génératrice du cylindre passant par le centre de la sphère Fenêtre de Viviani

[Merlin95]

Pour le volume voici le détail du calcul pour obtenir le résultat donné dans le lien précédent :

[invited3a27037]

Pour le calcul de l'aire de la fenêtre de Viviani, j'ai trouvé ce document:
Aire fenêtre de Viviani

C'est lourd car l'auteur part de la formule générale de l'aire des surfaces.

J'ai essayé de calculer l'aire en passant par les coordonnées sphériques. Je n'y suis pas arrivé (je trouve 0)

Pourtant la courbe de Viviani a une équation simple: latitude=longitude et r = R
et la surface élémentaire à r constant est: dS = r²sin(phi)d(theta)d(phi)
(phi pour la colatitude et theta pour la latitude)

[Merlin95]

En coordonnée sphérique je trouve



wolfram trouve une primitive : https://www.wolframalpha.com/input/?...to+(%5Cpi%2F2))

qui donne bien le résultat attendu ( =4.(π-2)), mais je ne sais pas comment il a fait pour trouver l'intégrale (l'option payante permet éventuellement d'avoir le détail).

[invited3a27037]

Finalement le calcul de l'aire de la fenêtre de Viviani est très simple en coordonnées sphériques.

Je prend comme conventions = colatitude et = longitude
Je mets le centre de la courbe en "8" aux cordonnées et

L'équation de la courbe de Viviani: et

Si S est l'aire d'un seul lobe:

[Merlin95]

Bonjour,

je ne suis pas trop d"accord pour ca (qui pourrait être intuitif mais qui est inexact) :

D'ailleurs, si on regarde les résultats trouvés ailleurs, il y a un facteur 2 de différence, avec ta définition, tu devrais plutôt trouver

on a en fait

J4aimerai bien avoir le détail du calcul fait par wolfram pour trouver la primitive de mon message précédent.