intégrale multiple

[jacknicklaus]

En coordonnée sphérique je trouve


[...]
qui donne bien le résultat attendu ( =4.(π-2)).

Attention, c'est plus exactement :


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[invited3a27037]

@Merlin95

Regarde https://www.mathcurve.com/courbes3d/.../viviani.shtml

Système d'équations sphériques et est la latitude =

Ensuite pour le facteur 2 manquant, si on regarde à la fin de cette page que j'ai déjà signalée:
http://steteil2.free.fr/an2013/hydro/viviani.pdf

l'auteur multiplie un résultat intermédiaire par 8 pour avoir la surface totale. Pourquoi par 8 ? je ne vois aucune symétrie qui justifie le 8. Un peu avant l'auteur dit qu'il va calculer le quart de la surface.

Si quelqu'un peut expliquer d'où sort le 8 ?

[Merlin95]

Attention, c'est plus exactement :

Non c'est bien ca.

on a et .

de et par soustraction on a d'ou .

et donc varie bien de à

Et le résultat final est si on prend le volume au dessus du plan z = 0

[Merlin95]

J'avais fait une petite erreur ici :

on a

en fait en coordonnées sphériques :



Et je retrouve bien la même surface joel_5632

[ansset]

depuis quelques posts.
-je ne sais plus qui parle de surface et d'autres de volume.
-et en plus ,il y a un z sous l'intégrale , donc ce n'est pas exactement le volume circonscrit à l'intérieur des deux def .
donc je ne sais plus qui a fait quoi dans cet exercice.

[invited3a27037]

@ansset

Moi j'ai suivi

Au début il y avait un z dans l'intégrande, ce qui rendait le calcul trop simple, résultat 0, du fait de la symétrie.

On a donc enlevé le z. Mais le calcul est devenu trop difficile

alors on a réduit le diamètre du cylindre pour qu'il soit égal au rayon de la sphère

Et là certains ont calculé le volume de l'intersection sphère/cylindre et d'autres l'aire la surface à la fois sur la sphère et à l'intérieur du cylindre.

A priori c'est fini, tout le monde est d'accord sur les résultats

[Merlin95]

Je confirme (j'ai rippé en parlant de volume au lieu de surface dans l'avant dernier message avant celui-ci).