Conjecture de Goldbach

[Zouhir Aarab]

Est ce que la conjecture de Goldbach peut être un exemple d'assertions qui sont vrais mais indémontrable (selon Gödel) ?
-----

[Médiat]

Pas besoin de Gödel pour cela, tant qu'aucune démonstration n'a été établie, les 3 cas sont possibles.

PS : je croyais que vous l'aviez démontrée ...

[Zouhir Aarab]

Pourquoi pas besoin de Gôdel
Car il faut que tous les assertions Mathematiques soit demontrable ?!

[karlp]

Bonjour

Si j'ai bien compris (les corrections sont bienvenues ).

On n'a pas démontré que cette conjecture était indécidable.
Pour l'instant on peut seulement dire que l'on ne parvient ni à la démontrer ni à la réfuter: mais ce n'est pas parce que l'on n'y parvient pas que la démonstration de l'impossibilité (d'une preuve ou d'une réfutation) est établie.

Quand bien même on établirait qu'elle est indécidable, rien ne permettrait de dire qu'elle est "vraie" (au sens mathématique), puisque le théorème de complétude établit l'équivalence entre "vrai" (sémantique) et "démontrable" (syntaxe).

Si vous maintenez l'idée que cette conjecture est vraie (en un sens non mathématique) sous prétexte qu'aussi loin que l'on soit allé, elle a toujours été "vérifiée", alors vous supposez l'existence d'une vérité indépendamment de nous (dans un autre langage: vous supposez l'existence d'un Autre qui garantirait cette vérité): c'est du platonisme (dans l'autre langage: vous supposez "dieu" - terme à entendre "métaphoriquement").

Merci aux personnes compétentes de rectifier ce qui doit l'être

Edit: trop tard ... (mais je veux bien être corrigé)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Pourquoi pas besoin de Gôdel

Ben parce qu'il n'est pas nécessaire

Car il faut que tous les assertions Mathematiques soit demontrable ?!

Surement pas puisque c'est faux (bizarre tant d'erreurs de la part d'un agrégé préparant un doctorat)

[Médiat]

Bonjour très cher karlp,


J'ajoute à ce que vous avez écrit qu"il faut faire la différence entre La théorie (Peano)et le modèle (IN).

J'ajoute que si on démontre que Goldbach est indécidale dans Peano, alors on a une démonstration de sa valeur de vérité dans IN

[karlp]

Bonjour très cher Médiat !

Je comprends ce que signifie "être indécidable dans Peano".
En revanche, si vous pouviez m'expliquer ce que signifie l'idée que, sous cette condition suffisante, nous aurions une "démonstration de sa valeur de vérité dans IN"
Avec tous mes remerciements !

[Zouhir Aarab]

Non juste élève en Polytechnique premiere année
J'aime beaucoup cette conjecture
Merci Mediat

[Médiat]

En revanche, si vous pouviez m'expliquer ce que signifie l'idée que, sous cette condition suffisante, nous aurions une "démonstration de sa valeur de vérité dans IN"

Nous somme ici dans un cas particulier, à savoir que IN est le (unique à isomorphisme près, d'où l'article défini) modèle premier de Peano, c'est à dire un modèle qui "se retrouve" (s'injecte élémentairement) dans tous les modèles ; on peut écrire la conjecture de Goldbach sous la forme (la négation de la forme habituelle) si cette formule était vraie dans IN elle serait vraie dans tous les modèle (le qui existe dans IN existerait dans tous les modèles (*)) et donc ne serait pas indécidable dans Peano.

(*) il manque une remarque importante pour que ceci soit une démonstration, je complèterai si nécessaire

[karlp]

Merci très cher Médiat !

Je comprends très bien (?) l'idée générale.
Je crois pouvoir raisonnablement supposer que le raisonnement vaut aussi pour la fausseté de la conjecture dans IN ? (je me méfie toujours de ce que me suggère l'intuition quand il s'agit de mathématiques).

[Médiat]

Je crois pouvoir raisonnablement supposer que le raisonnement vaut aussi pour la fausseté de la conjecture dans IN ?

Désolé, très cher karlp, mais je ne comprends pas ce que vous voulez dire

[Verdurin]

Bonsoir karlp,
pour préciser ce qu'a dit Médiat, qui, j'espère, me corrigera si je dis des bêtises.

Si la conjecture est indémontrable dans Peano, alors on ne peut pas trouver de nombre n dans IN ( au sens minimal ) plus grand que 2 et vérifiant :



En effet si on trouve un tel nombre on peut vérifier qu'il a cette propriété avec un nombre fini ( au sens naïf ) de calculs.
Et on a donc une démonstration.

[Médiat]

Bonsoir,

Le "truc" tient dans l fait que les quantificateurs universels de la formule sont bornés (p et q sont plus petits que n) et tous les éléments non standards sont plus grands que tous les entiers de IN (l'image de IN pour être précis)donc rajouter des éléments plus grand que n ne permet pas de trouver p et q.

[invite84127968]

Petite question de culture, le nombre de solutions observées pour obtenir un nombre paire permet de former la Comète de Goldbach, rencontre-ton cette "comète" ou une cousine ailleurs?

[karlp]

Désolé, très cher karlp, mais je ne comprends pas ce que vous voulez dire

Très cher Médiat, mon instinct me dit qu'en l’occurrence c'est moi qui n'ai rien compris . Je vais reprendre tout ceci.

[karlp]

Nous somme ici dans un cas particulier, à savoir que IN est le (unique à isomorphisme près, d'où l'article défini) modèle premier de Peano, c'est à dire un modèle qui "se retrouve" (s'injecte élémentairement) dans tous les modèles ; on peut écrire la conjecture de Goldbach sous la forme (la négation de la forme habituelle) si cette formule était vraie dans IN elle serait vraie dans tous les modèle (le qui existe dans IN existerait dans tous les modèles (*)) et donc ne serait pas indécidable dans Peano.

(*) il manque une remarque importante pour que ceci soit une démonstration, je complèterai si nécessaire

Très cher Médiat,

Désolé, très cher karlp, mais je ne comprends pas ce que vous voulez dire

J'ai rédigé trop vite et j'aurais dû écrire : le raisonnement vaut aussi pour la fausseté de la formule (et non de la conjecture).

Toutefois, je dois vous faire l'aveu que je ne comprends pas celle-ci (je l'avais lue trop vite également). Je la lis ainsi : Il existe un n, pour tout p et pour tout q, tels que p et q sont premiers et dont l'addition n'est pas égale à n.
Mais (c'est là que je ne comprends pas, à supposer que ma lecture de la formule soit correcte) si n est impair , la formule est vraie, non ?

[gg0]

Attention,

il y a une typo dans la formule de Médiat au message #9 : C'est 2n à la place de n (comme dans le message #12 de Verdurin). La conjecture de Goldbach ne parle que des pairs.

Cordialement.

[karlp]

Bonsoir karlp,
pour préciser ce qu'a dit Médiat, qui, j'espère, me corrigera si je dis des bêtises.

Si la conjecture est indémontrable dans Peano, alors on ne peut pas trouver de nombre n dans IN ( au sens minimal ) plus grand que 2 et vérifiant :



En effet si on trouve un tel nombre on peut vérifier qu'il a cette propriété avec un nombre fini ( au sens naïf ) de calculs.
Et on a donc une démonstration.

Bonjour Verdurin

Pouvez vous corriger ma lecture de votre formule (désolé de vous faire descendre si "bas") : vous dîtes que si on trouve un n qui soit tel que 2n n'est la somme d'aucun couple de nombre premiers, alors la conjecture est décidable (elle serait fausse, n'est-ce pas ? )

[karlp]

Attention,

il y a une typo dans la formule de Médiat au message #9 : C'est 2n à la place de n (comme dans le message #12 de Verdurin). La conjecture de Goldbach ne parle que des pairs.

Cordialement.

ggO, je serais tenté de dire la même chose: ça règlerait déjà une de mes difficultés
Merci de votre assistance.

[Médiat]

il y a une typo dans la formule de Médiat au message #9 : C'est 2n à la place de n

Tout à fait exact, à un détail près, ce n'est pas une typo, mais une grosse connerie

[Médiat]

Bonjour très cher karlp,

Désolé que mon erreur vous ai emmené sur de mauvais chemins

Pouvez vous corriger ma lecture de votre formule (désolé de vous faire descendre si "bas") : vous dîtes que si on trouve un n qui soit tel que 2n n'est la somme d'aucun couple de nombre premiers, alors la conjecture est décidable (elle serait fausse, n'est-ce pas ? )

Oui, cette formule, (corrigée ici) est la négation de la conjecture de Goldbach

[karlp]

Merci très cher Médiat et merci à tous pour votre aide

[invite84127968]

Bonjour, je suis intéressé par cette discussion car je suis en ce moment en train de tenter de saisir ce que peut être une série aléatoire, si il n'y a pas de récurrence dans le nombre de résultats pour n considère t-on la comète de Goldbach comme une série aléatoire? Peut -on d'ailleurs démontrer qu'une série est aléatoire et si démonstration il y a d'une telle propriété, n'est ce pas paradoxal ?

[azizovsky]

Je me demande s'il existe une autre 'vision' de la conjoncture, par exemple dans les structures algébrique : les idéaux (premier, principale,...)



ou utiliser le dictionnaire ''algèbre / géométrie'' (x/y) pour avoir le problème ailleurs ('transplanter' le problème dans un autre univers mathématique ).???

[invite84127968]

Je me demande s'il existe une autre 'vision' de la conjoncture, par exemple dans les structures algébrique : les idéaux (premier, principale,...)



ou utiliser le dictionnaire ''algèbre / géométrie'' (x/y) pour avoir le problème ailleurs ('transplanter' le problème dans un autre univers mathématique ).???

Poses toi la question de ce que peut être un univers pour répondre à ta question.

[azizovsky]

Poses toi la question de ce que peut être un univers pour répondre à ta question.

Je laisse sa définition en logique..., c'est comme utiliser la TL pour résoudre un problème: une équation différentielle ...(au lieu de la résoudre directement en la transforme....).
https://cours.etsmtl.ca/seg/gpicard/laplace-table.pdf
https://fr.wikipedia.org/wiki/Univers_(logique)