Bonjour,
Je cherche à identifier des propriétés sur la fonctiontelle que
où
La question : peut-on déduire un équivalent pour la fonction
Je sèche un peu.
Merci pour l'élaboration de pistes !
Bien à vous.
JB
Bonjour.
Pour l'instant, je ne peux pas lire les parties en LaTeX. Désolé !
Je joins une simplification du problème en attaché.
Pouvez-vous trouver un équivalent de Gamma en +oo ?
j'ai exactement le même pb avec le "TEX".Envoyé par gg0
signalé à la modé dans la "vie du forum".
amicalement.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
Je vais avancer une première idée. J'ai envie de dire que Gamma est équivalente à une constante. C'est une condition suffisante.
J'ai tenté le polynôme... mais non. La fonction cos, mais non.
Si on suppose Gamma continue, le théorème de la moyenne permet d'avoir un coefficient de proportionnalité.
Bref, je voulais m'assurer que l'on ne puisse rien dire d'autre sur Gamma vérifiant une telle condition.
Merci.
[rédigé avant la publication du message précédent]
Bonjour JBrosopi.
S'il s'agit de l'habituelle fonction Gamma, qui a une croissance exponentielle (*), ça semble peu probable.
Et pour te répondre, il vaudrait mieux avoir LaTeX.
Cordialement.
(*) en particulier, pour n entier strictement positif, Gamma(n)=(n-1)!, ce qui croît quand même très vite !!
Si tu cherches une fonction Gamma qui convient, il y en a une infinité, par exemple x-->1+1/x.
Ce n'est pas la fonction Gamma d'Euler. Le deuxième message convient donc.
Merci pour ceux-ci. La fonction que vous proposez (si vous le voulez bien gardons la variable t, car x est réservé à autre chose - voir le LaTeX au début du topic quand ça fonctionnera) tend vers 1, c'est-à-dire une constante, comme j'en ai l'intuition. Mais sauf que int(1/t*exp(a*t) dt) ne se comporte pas comme exp(a*t) au voisinage to l'inf, donc ça ne marche pas.
Bonjour,
Je n'ai peut-être pas compris la question, car cela me semble très simple :
On voit directement que gamma=a répond à la question (et pas 1 : gg0 a dû faire un lapsus calami).
Ensuite, comme on parle d'équivalents, on peut rajouter à gamma n'importe quelle fonction suffisamment décroissante pour que l'intégrale soit négligeable devant exp(at) et cela marchera encore….
Et la fonction 1/t donnée par gg0 marche très bien (le résultat n'est pas une fonction élémentaire : c'est ce qu'on appelle un exponentielle intégrale, mais elle est bien négligeable devant l'exponentielle)
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Bien, mais le résultat Gamma = a (cte, car vous verrez que j’ai déjà une constante devant l’exponentielle) me parait simple. Plutôt, Gamma «*tend vers*» a, il me semble.
Pour la fonction 1/t, il me semble que l’exponentielle intégrale ne se comporte pas comme une exponentielle. D’où mon affirmation (peut-être précipitée) que ça ne fonctionne pas. Je veux une intégrale de Gamma fois exp équivalente à une exponentielle, pas à une exponentielle intégrale.
Un autre argument que j’avais en tête : je vais dire les choses rapidement, mais nous avons à faire à des exponentielles partout, donc Gamma doit forcément être une exponentielle, fois une fonction négligeable devant cette exponentielle. En développant l’intégrale et par définition du «*petit o*», ok peut montrer que le coef de l’exponentielle est égale à 0... et au final la fonction gamma est une fonction négligeable devant l’exponentielle. En fait je crois que ce résultat revient à ce que vous disiez : Gamma est négligeable devant exp(a t).
En fait je voulais m’assurer que l’on ne pouvait pas faire mieux ? Alors qui dit mieux ?
Ah, attendez, je vais formuler la question comme ceci : quelles sont l’ensemble des fonctions les moins négligeables devant exp(a t) qui vérifient cette équivalence ?
Bonjour,
J'ai l'impression que vous n'avez pas compris nos réponses : les gamma qui répondent à la question sont la somme de a et d'une fonction quelconque g
dont il suffit qu'elle tende vers zero, afin que l'intégrale de g.exp(at) soit une fonction qui peut être croissante, mais négligeable devant l'intégrale de a.exp(at) qui vaut exactement exp(at)
On a cité 1/t, mais 1/ln(x), ou même 1/(ln(..(ln(x))) ferait parfaitement l'affaire.
Maintenant, si vous voulez que la différence tende vers une constante, c'est une condition bien plus forte que "négligeable" devant exp(at)
Pour cela, il faudra soit une fonction g (t) de signe constant qui tende vers zero plus vite que 1/(t.exp(at)) soit des fonctions de signe variable, avec des conditions moins restrictives
Dernière modification par Resartus ; 01/05/2020 à 19h10.
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Bien, je pense que je suis parvenu à mes fins. La fonction Gamma la 'moins négligeable' est nécessairement une constante égale à a dans le cas du problème simplifié. J'écrirai une démonstration lorsque LaTeX ira mieux pour cloturer la discussion.
Merci bien de votre aide !
EDIT: je viens de vous lire. Oui d'accord je comprends bien ! Oui, je vois ! Bien, maintenant, pour votre second paragraphe, de quelle différence parlez-vous ?
Dernière modification par JBrosopi ; 01/05/2020 à 19h11.
Autre EDIT: en fait pour votre premier paragraphe, votre fonction g ne m'intéresse pas, car elle est plus négligeable devant exp(a t) que ne l'est la constante a, or je m'intéresse à la fonction la moins négligeable devant exp(a t).
Oui, attendons que laTeX fonctionne, car cette notion de "plus négligeable que" me paraît très floue. Une fonction qui prend des valeurs plus grande que a serait "plus négligeable" ??
Oui, elle est floue car inexistante à ma connaissance, et je n'ai pas de définition bien comme il faudrait. Elle me paraît intuitive dans le cas d'une exponentielle : une fonction la moins négligeable devant exp(a t) est forcément de la forme exp(beta t), avec beta aussi proche de a que l'on souhaite et beta<a. Cette idée permet de prouver, me semble-t-il, le résultat de la constante a exposé plus haut. La condition nécessaire n'est pas du tout un résultat trivial, tout du moins pour moi.
A partir du moment où il y a "forcément", c'est que ce n'est plus des maths, seulement de la croyance. Quand tu auras suffisamment réfléchi à ce que tu veux dire, tu trouveras "forcément" une définition que tu peux nous donner. Pour l'instant, c'est vide ...
Bof, vous y aller un peu fort je trouve. On peut avoir de l'intuition en maths, vous savez.
Ceci dit, je vais réfléchir à comment formuler correctement ce que j'ai en tête.
Oh, mais j'ai eu des tas d'intuitions. 90% se sont révélées fausses et les autres n'étaient que des choses déjà connues.
Mais vas-y, essaie de vraiment mettre en forme ton intuition ça ne peut pas faire de mal.
Cordialement.
