Exercice III : Soit A un anneau commutatif et soit M un A-module tel que pour tout idéal I de M, le morphisme qui à x ⊗ m associe xm de IM dans M soit injectif. Soit f : N →L une injection de A-modules. Pour un sous A-module K de L tel que f(N) soit un sous A-module de K, on note fK la corestriction de f à K, c-à-d , le morphisme qui à n associe fK(n) = f(n) de N dans K.
(a) Montrer que l'ensemble E, des sous-A-module K de L contenant f(N), tel que fK ⊗idM : NM →KMsoitinjectif, est un ensemble inductif. Soit K un élément maximal dans E. Soit un élément quelconque x de L. posons K= K+xA, soient les morphisme de A-modules suivants : i : K → K l'injection naturelle, pK : K A Alaprojection naturelle et g : KA → Kdénie par g(k,a) = k +ax.
(b) Montrer que la restriction de pK au noyau ker(g) est une injection. Soit donc I = pK(ker(g)), alors la restriction de pK à ker(g) réalise un isomorphisme de A-modules de ker(g) sur le sousAmodule I de A.
(c) Montrer que la suite 0 → I → KA → K→ 0 est une suite exacte de A-modules.
(d) Montrer en tensorisant la suite exacte ci-dessus par M, que le morphisme i⊗idM est injectif.
(e) Montrer que K = L et conclure.
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