Nombres constructibles à l'aide des 4 opérations et des racines énièmes

[invite9fb52f68]

Bonjour,

J’essaye de simplifier ma demande précédente dans ma question sur les extensions radicales.
Le corps de base est Q.
En fait nous savons que si P est résoluble par radicaux, toute racine de son corps de décomposition sur Q s’exprime à l’aide des 4 opérations et des racines énièmes.
J’aurais souhaité connaître la démonstration de la réciproque :
C'est-à-dire si toutes les racines de la clôture algébrique de Q dans C s’expriment comme dit précédemment, alors P est résoluble par radicaux.

Merci d'essayer de m'éclairer sur ce point.
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[Resartus]

Bonjour,
Pas sûr de comprendre votre question : la clôture algébrique de Q est unique*, et on sait qu'il y a dedans des racines qui ne sont pas exprimables par radicaux

Ceci dit, en termes de logique pure, comme la prémisse est toujours fausse, l'implication est vraie même quand la conclusion est fausse….


*Ou sinon, il faut se limiter à certains types de polynômes. Précisez ce que vous avez en tête

[invite9fb52f68]

Bonjour,


Je sais bien sûr que deux clôtures algébriques sont isomorphes et en ce sens on peut parler de l'unicité de la clôture algébrique.

Mais là n'est pas mon propos.

En fait je pars d'un polynôme dont toutes les racines sont exprimables par radicaux( c'est à dire à l'aide des 4 opérations et des racines énièmes) et je voudrais juste montrer qu'il existe une extension radicale incluse de son corps de composition sur Q, c'est à dire par définition qu'il est résoluble.

C'est en quelque sorte la réciproque de la phrase précédente à savoir que si P admet une extension radicale, alors toutes ses racines de son corps décomposition sur Q sont exprimables par radicaux, ce que nous savons être vrai.

Merci de prendre de l’intérêt à ma question.