Nombres rationnels, densité et opérations.

[invitedb2255b0]

Bonjour,

j'aurais voulu savoir quels operations peut-on faire sur les nombres rationnels. Par exemple peut-on dire que si et alors la somme l'est egalement. Ou l'inverse, qui est manifestement faux (1-e) et e pzr exemple.

Enfin bref j'aimerais prouver que {(x,y) dans R^2 t.q. x^2+y^2 est rationnel} est dense donc faut que je montre que c'est un sous ensemble de Q^2.

Puis montrer que l'ensemble {(x,y) de R^2 t.q. X^2+y^2 soit irrationnel} l'est aussi.


Enfait je doit etudier la continuite de la fonction:

f(x,y) =
xy si x^2+y^2 est rationnel
0 sinon.
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[invite1e1a1a86]

"Enfin bref j'aimerais prouver que {(x,y) dans R^2 t.q. x^2+y^2 est rationnel} est dense donc faut que je montre que c'est un sous ensemble de Q^2."

non, il n'y a pas de donc mais un "suffisant"

il suffit de montrer que Q^2 (si cela s'avère vrai) pour montrer que ton ensemble est dense dans R^2 (car il contient une partie qui est dense dans R^2)

néanmoins, sais tu vraiment ce qu'est Q^2, pourquoi est il dense dans R^2? (la démo)

car oui, évidemment que Q^2 est stable par somme, multiplication etc...

pour ton contre-exemple e et 1-e, aucun n'est rationnel donc je te comprends pas...

[invitedb2255b0]

Et bien oui pourtant leur somme est rationnelle.

Donc pour qu'une partie de RxR soit dense il suffit qu'elle soit inclu dans une partie dense cest ca? Le produit cartesien de deux partie dense de R est dense dans RxR ? (par exemple lensemble (R-Q)x(R-Q)?

Maintenant comment montrer que mon ensemble E ={(x,y) de RxR t.q. x*x+y*y soit rationnel} est un sous ensemble de QxQ, car a+b rationnel n'entraine pas a rationnel et b rationnel de meme pour le produit.

[invitea0db811c]

Bonjour,

Non non, et non.

Un ensemble n'est pas dense si il est contenu dans une partie dense, ou alors tu affirme sans crainte que le singleton nul est dense dans R...

Au contraire, il suffit que ton ensemble contienne une partie dense pour que ton ensemble soit dense... Or ton ensemble contient Q², et il est assez trivial de montrer que Q² est dense dans R² (si tu sais que Q est dense dans R bien entendu)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Bonjour,

j'aurais voulu savoir quels operations peut-on faire sur les nombres rationnels.

est un corps.

[invite1e1a1a86]

oui bien sur

c'est car Q^2 est inclus dans ton ensemble qu'on peut dire qu'il est dense dans R^2

en effet

si A est inclus dans B et si A est dense dans E

alors pour tout élément de A, il existe une suite d'éléments de A qui converge vers E (A dense dans E) et donc à fortiori cette suite convient pour montrer que B est dense dans E puisque c'est aussi une suite d'éléments de B (car A est inclus dans B)

d'ailleurs, tu as raison, ton ensemble n'est pas contenu dans Q^2, il y a par exemple dans celui ci (et bien d'autre encore plus compliqué comme

par contre, tu n'arriveras pas a montrer que (R-Q)^2 est inclus dans ta partie (exemple n'y est pas) ni même l'inverse (exemple (0,0))

pour répondre a ta question:
"Le produit cartesien de deux partie dense de R est dense dans RxR?"

oui, et pourquoi?