[MPSI-MP]les nombres constructibles

[Romain-des-Bois]

Bonjour à tous,

comme indiqué là http://forums.futura-sciences.com/thread86104.html

je cherche à en savoir plus sur les nombres constructibles (en vue certainement d'un TIPE et sinon ce sera pour le plaisir !)

J'ai déjà travaillé dessus et j'ai démontré les bases (ie est un sous-corps de stable par racine carrée, si d°a est plus petit que 2, alors a est constructible et est strictement plus gros que )

Mon objectif c'est de parvenir à comprendre quels sont les nombres constructibles (d'après ce que j'ai pu lire son degré sur est de la forme 2ⁿ - théorème de Wantzel) pour aller vers la duplication impossible du cube (ce qui est trivial quand on connait Wantzel ).

(i) Si vous avez des conseils

(ii) Pouvez vous m'en dire plus sur les idéaux de K[X] ? Que sont-ils exactement ?

(iii) Comment définit-on le degré (d'un poly) sur ?

merci beaucoup

Romain
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[GuYem]

(i) un conseil : essaye des livres de théorie des corps : Carréga est peut-être un peu violent mais pas mal.

(ii) Si K est un corps, les idéaux de K[X] sont tous principaux, ie de la forme (P) avec P un polynome de K[X]

(iii) Le degré d'un polynome sur Q est l'indice du dernier terme non nul de ce polynome. En gros c'est la même chose de que sur Z !

[Romain-des-Bois]

(i) un conseil : essaye des livres de théorie des corps : Carréga est peut-être un peu violent mais pas mal.

Je viens justement de le commander

(ii) Si K est un corps, les idéaux de K[X] sont tous principaux, ie de la forme (P) avec P un polynome de K[X]

désolé, j'ai pas compris

(iii) Le degré d'un polynome sur Q est l'indice du dernier terme non nul de ce polynome. En gros c'est la même chose de que sur Z !

Tu entends quoi par l'indice ?

merci

[Romain-des-Bois]

(iii) Le degré d'un polynome sur Q est l'indice du dernier terme non nul de ce polynome. En gros c'est la même chose de que sur Z !

Je crois que j'ai compris !

P = 3.X⁵ + X² + 1

Le d° sur c'est 5, le d° sur c'est 5


P = 3.X^5,2 + X² + 1

Le d° sur c'est 5,2, le d° sur c'est ... 3 ? ou alors 5... ?!

Je crois que j'ai compris !

Pas vraiment en fait !!!


Romain
(merci )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Salut Romain

Un polynôme s'écrit normalement comme une somme de puissances entières de X. Donc ton dernier exemple, avec X^(5,2) n'est pas un polynôme.

Autre remarque : Je crois que le théorème de Wantzel dit qu'un nombre est constructible ssi il existe une tour d'extension de corps de degré 2 l'un sur l'autre, allant de Q à Q[x].
Cela implique évidemment que si le degré de Q[x] est différent d'une puissance de 2, ça ne peut pas marcher.
Je pense que le Carréga explique très bien cela. En fait, essentiellement, il suffit de voir que quand tu calcules l'intersection d'un cercle/droite avec un cercle/droite, tu tombes forcément sur une équation polynômiale de degré 2 dont les coefficients sont dans ton corps précédent.
Je suis même prêt à être plus clair si tu me le demandes, parce que là, je me sens un peu brouillon Mais je pense que tu trouveras tout ça dans le Carréga.

__
rvz

[Romain-des-Bois]

Salut à toi !

Salut Romain

Un polynôme s'écrit normalement comme une somme de puissances entières de X. Donc ton dernier exemple, avec X^(5,2) n'est pas un polynôme.

Je me doutais bien qu'il y avait un problème... mais alors je vois pas la différence avec le degré sur R...

si tu pouvais m'expliquer... j'avancerais bien

Autre remarque : Je crois que le théorème de Wantzel dit qu'un nombre est constructible ssi il existe une tour d'extension de corps de degré 2 l'un sur l'autre, allant de Q à Q[x].
Cela implique évidemment que si le degré de Q[x] est différent d'une puissance de 2, ça ne peut pas marcher.

Tu as donné le théorème de Wantzel exact (compliqué), et j'ai donné son implication (qui me suffit). D'après ce que j'ai lu, je peux me passer de Wantzel pour parvenir à l'implication.

Je pense que le Carréga explique très bien cela.

Je le reçois dans une semaine !

En fait, essentiellement, il suffit de voir que quand tu calcules l'intersection d'un cercle/droite avec un cercle/droite, tu tombes forcément sur une équation polynômiale de degré 2 dont les coefficients sont dans ton corps précédent.

Et tu penses que ça peut suffire pour ma démo ?


peux-tu me préciser la notion d'idéal (mais c'est peut-être trop complexe pour moi - je comprends rien à la déf de Wiki et rien à celle de GuYeM) ? dans ce que je lis, le gars a écrit : machin est clairement un idéal et donc...

merci beaucoup


Romain

[invite6b1e2c2e]

Effectivement, la définition du degré sur R et sur Q est la même. En fait, c'est toujours la même quel que soit le corps sur lequel tu te places, Z/pZ, C,... et ça a même un sens dans les anneaux, mais pour ce qui te concerne, ça ne t'intéresse pas. La seule chose qui change quand tu changes le corps où tu travailles, c'est l'endroit où sont les coefficients !

A propos du théorème de Wantzel : Poour l'implication dont tu as besoin, il te faut la partie difficile de l'équivalence ! Pas de chance... Cependant, si c'est pour un tipe, je pense qu'un jury comprendrait tout à fait que tu démontres le sens facile, et que tu admettes l'autre.

Je pense que ce que je t'ai dit précédemment devrait te permettre d'au moins bien visualiser les idées de la preuve. Malheureusement, dans la vraie preuve, il faut détailler tous les cas, et voir que ça marche bien à chaque fois. C'est pas très dur, mais ça peut-être imbouffable si tu n'as pas l'idée en tête.

Pour les idéaux : Tu verras ça dans tous les livres de prépa.
La définition :
Soit A un anneau. I est un idéal de A si
1/Pour tout x et y dans I, x+y est dans I
2/ Pour a dans A, y dans I, ay est dans I.

Ce qui signifie : I est stable pour la loi additive de l'anneau et I est absorbant pour la multiplication.
Un exemple très simple : Dans Z, les nZ sont des idéaux.

Un idéal I est dit principal si il existe un élémént i tel que l'idéal engendré par A ( qui correspond à tous les produits a * i pour a dans A, souvent noté (i) ou iA, et dont je te laisse le soin de vérifier que c'est le plus petit idéal de A qui contient i ) est égal à I.
Un exemple : Les nZ sont des idéaux principaux.

Il existe des anneaux sympathiques qui ont la propriété que tous les idéaux sont principaux. On les appelle anneaux principaux. Par exemple, citons Z et k[X], pour k un corps. Cela repose souvent (en tout cas dans ces deux exemples) sur l'existence d'une division euclidienne (on parle dans ce cas d'anneau euclidien). Tu peux essayer de démontrer qu'un anneau muni d'une division euclidienne est forcément principal.

Toutes ces propriétés sont beaucoup plus claires dans le cas de Z. Je t'encourage à essayer de démontrer que tous les idéaux de Z sont de la forme nZ, en utilisant la division euclidienne. La preuve (que je qualifierai de naturelle, mais c'est toujours plus facile avec le recul) devrait s'adapter au cas de k[X].

Bon, j'espère avoir été complet. Si tu bloques, tu peux toujours aller voir des bouquins d'algèbre de niveau MP. Tout ça devrait y être fait.

__
rvz

[Romain-des-Bois]

Effectivement, la définition du degré sur R et sur Q est la même. En fait, c'est toujours la même quel que soit le corps sur lequel tu te places, Z/pZ, C,... et ça a même un sens dans les anneaux, mais pour ce qui te concerne, ça ne t'intéresse pas. La seule chose qui change quand tu changes le corps où tu travailles, c'est l'endroit où sont les coefficients !

OK, je comprends mieux ! Mais en quoi l'ordre change-t-il entre R et Q ? (sur mon exemple plus haut par exemple)

A propos du théorème de Wantzel : Poour l'implication dont tu as besoin, il te faut la partie difficile de l'équivalence ! Pas de chance... Cependant, si c'est pour un tipe, je pense qu'un jury comprendrait tout à fait que tu démontres le sens facile, et que tu admettes l'autre.

D'accord

je pense que ce que je t'ai dit précédemment devrait te permettre d'au moins bien visualiser les idées de la preuve. Malheureusement, dans la vraie preuve, il faut détailler tous les cas, et voir que ça marche bien à chaque fois. C'est pas très dur, mais ça peut-être imbouffable si tu n'as pas l'idée en tête.

J'ai déjà lu la preuve, mais j'ai été rebuté par mal de difficultés... mais bon, ça devrait venir

Pour les idéaux : Tu verras ça dans tous les livres de prépa.
La définition :
Soit A un anneau. I est un idéal de A si
1/Pour tout x et y dans I, x+y est dans I
2/ Pour a dans A, y dans I, ay est dans I.

Ce qui signifie : I est stable pour la loi additive de l'anneau et I est absorbant pour la multiplication.
Un exemple très simple : Dans Z, les nZ sont des idéaux.

OK ! Tout va mieux alors !

C'est bon, j'ai tout compris

Bon, j'espère avoir été complet. Si tu bloques, tu peux toujours aller voir des bouquins d'algèbre de niveau MP. Tout ça devrait y être fait.

Merci beaucoup pour toutes ces précisions


Romain, très satisfait

[Romain-des-Bois]

Un idéal I est dit principal si il existe un élémént i tel que l'idéal engendré par A ( qui correspond à tous les produits a * i pour a dans A, souvent noté (i) ou iA, et dont je te laisse le soin de vérifier que c'est le plus petit idéal de A qui contient i ) est égal à I.
Un exemple : Les nZ sont des idéaux principaux.

Tu voulais pas dire "engendré par i dans A" ?

[invite6b1e2c2e]

L'ordre, c'est différent du degré. L'ordre, c'est le degré du polynôme minimal, qui doit être à coefficient sur le corps avec lequel tu travailles.
Quand tu regardes par exemple l'ordre de r = racine(2) sur R, c'est 1, car r est racine du polynome
P(X) = X-r, qui est de degré 1.
Par contre, sur Q, tu ne peux pas considérer ce polynôme, puisque l'un de ses coefficients est r, qui n'est pas rationnel. Donc l'ordre de r sur Q est plus grand que 1 strictement. En fait, c'est 2, puisque P(X) = X^2 -2 s'annule en r.

__
rvz

[edit : Si si, je voulais dire ça ! ]

[Romain-des-Bois]

L'ordre, c'est différent du degré. L'ordre, c'est le degré du polynôme minimal, qui doit être à coefficient sur le corps avec lequel tu travailles.
Quand tu regardes par exemple l'ordre de r = racine(2) sur R, c'est 1, car r est racine du polynome
P(X) = X-r, qui est de degré 1.
Par contre, sur Q, tu ne peux pas considérer ce polynôme, puisque l'un de ses coefficients est r, qui n'est pas rationnel. Donc l'ordre de r sur Q est plus grand que 1 strictement. En fait, c'est 2, puisque P(X) = X^2 -2 s'annule en r.

Oh là là !!! J'y étais pas du tout !!!

Je m'explique :
on me dit : le d° sur R est différent que le d° sur Q. Puis, le d° sur Q, c'est l'indice. J'ai pensé à l'indice du coeff du terme de plus haut degré (par exemple : P=a₅.X⁵ + a₄.X⁴ + ... ). Quand tu as parlé d'ordre, j'ai cru qu'on rangeait ces coeffs dans un autre ordre (je dois être fatigué)

Mais bon maintenant, c'est bien clair !!!

[edit : Si si, je voulais dire ça ! ]

OK

c'est vraiment gentil d'avoir pris le temps de m'expliquer
merci


Romain