Continuité uniforme sur un intervalle ouvert

[DavianThule95]

Bonjour,

Je voulais savoir si ce résultat est vrai :

Soit telle que f soit prolongeable par continuité en a et en b. Alors f est uniformément continue sur ]a,b[.

En fait je vois pas trop comment le démontrer (ou l'infirmer).
-----

[DavianThule95]

Edit : J'ai trouvé la solution...

Pour ceux qui pourraient passer par là et qui se poseraient la même question que moi, voilà comment faire :

f est continue sur ]a,b[et prolongeable par continuité en a et b. En considérant g le prolongement par continuité de f en a et b, on a que g est définie continue sur [a,b], donc g est uniformément continue sur [a,b] par le théorème de Heine. Alors :



En particulier, puisque ]a,b[ inclus dans [a,b] :


Donc puisque pour tout x dans ]a,b[, g(x) = f(x), on a :


Ce qui revient bien à dire que f est uniformément continue sur ]a,b[.

CQFD

[Tryss2]

De façon générale, la restriction d'une fonction uniformément continue est encore uniformément continue