Continuité uniforme sur un intervalle ouvert

**DavianThule95** · 13/06/2020, 16h05

Bonjour,

Je voulais savoir si ce résultat est vrai :

Soit $f\in\mathcal{C}^0(]a,b[,\mathbb{R})$ telle que f soit prolongeable par continuité en a et en b. Alors f est uniformément continue sur ]a,b[.

En fait je vois pas trop comment le démontrer (ou l'infirmer).

**DavianThule95** · 13/06/2020, 16h15

Edit : J'ai trouvé la solution...

Pour ceux qui pourraient passer par là et qui se poseraient la même question que moi, voilà comment faire :

f est continue sur ]a,b[et prolongeable par continuité en a et b. En considérant g le prolongement par continuité de f en a et b, on a que g est définie continue sur [a,b], donc g est uniformément continue sur [a,b] par le théorème de Heine. Alors :

$\forall \epsilon>0,\quad \exists \eta>0,\quad \forall(x,y)\in [a,b]^2,\quad |x-y| \leq \eta \quad\Rightarrow \quad |g(x)-g(y)|\leq \epsilon$

En particulier, puisque ]a,b[ inclus dans [a,b] :
$\forall \epsilon>0,\quad \exists \eta>0,\quad \forall(x,y)\in ]a,b[^2,\quad |x-y| \leq \eta \quad\Rightarrow \quad |g(x)-g(y)|\leq \epsilon$

Donc puisque pour tout x dans ]a,b[, g(x) = f(x), on a :
$\forall \epsilon>0,\quad \exists \eta>0,\quad \forall(x,y)\in ]a,b[^2,\quad |x-y| \leq \eta \quad\Rightarrow \quad |f(x)-f(y)|\leq \epsilon$

Ce qui revient bien à dire que f est uniformément continue sur ]a,b[.

CQFD

invite23cdddab · 13/06/2020, 16h37

De façon générale, la restriction d'une fonction uniformément continue est encore uniformément continue

Continuité uniforme sur un intervalle ouvert

Continuité uniforme sur un intervalle ouvert

Re : Continuité uniforme sur un intervalle ouvert

Re : Continuité uniforme sur un intervalle ouvert

Discussions similaires

Intervalle ouvert

Estimation de l'intervalle support d'une loi uniforme

démonstration implication continuité intervalle borné , uniforme continuité

Intervalle ouvert ou fermé ?

tout intervalle ouvert est un ensemble ouvert