Intersection de deux sphères en dimension finie

[Alex1504]

Bonjour,
Je réfléchis en ce moment à un énoncé qui m’a l’air évident mais que je n’arrive pas à démontrer:
«*Dans un EVN de dimension finie, deux sphères dont la distance entre les deux centres est plus faible que la somme de leurs rayons respectifs ont une intersection non vide.*»
Je n’arrive ni à construire un point d’intersection aux sphères, ni à trouver un point d’intersection entre tout couple de boules creuses de mêmes centres respectifs que les deux sphères, de rayons extérieurs égaux aux rayons respectifs des deux boules et de rayons internes respectifs plus petits que les rayons extérieurs (en bidouillant bolzano Weierstrass grâce à la dimension finie ça donnerait le résultat).
Quelqu’un aurait-il une idée?
Merci d’avance
A bientôt
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[pm42]

2 sphères de même centre et de rayon différents répondent à la définition non ? Et pourtant, leur intersection est vide je dirais ? Ou j'ai raté un truc ?

[Alex1504]

Effectivement ça rend le truc ridicule...
rajoutons pour éviter ce gag que le centre de la sphère S_1 n’est pas dans la boule fermée contenue dans le sphère S_2 et vice-versa. Est-ce que ça devient vrai?

[minushabens]

dans ce cas il me semble que l'existence d'un point d'intersection résulte du théorème de Jordan-Brouwer (c'est Jordan en dimension >2).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Alex1504]

Merci de m’avoir répondu.
Je ne connaissais pas ce théorème. J’ai cherché et c’est: dans un euclidien, toute application continue d’une boule fermée d’un euclidien dans elle-même admet au moins un point fixe.
Cependant, je ne vois pas le rapport avec mes 2 sphères. Quelle est l’application à poser dont le point fixe serait l’intersection des deux sphères?

[Seirios]

Si je n'écris pas de bêtises, il me semble qu'un argument élémentaire est suffisant :

Pour fixer les notations, prenons deux points et fixons deux rayons de sorte . Nous supposons que , c'est-à-dire que (resp. ) n'appartient pas à la boule ouverte (resp. ).

Considérons le segment . L'intersection est un sous-segment de de longueur qui contient ; de même, l'intersection est un sous-segment de de longueur qui contient . Puisque , l'extrémité de différente de doit appartenir à . Autrement dit, appartient à .

D'un autre côté, la droite contient deux points dans , et on note le plus éloigné de . On remarquera que , donc n'appartient pas à la boule .

Maintenant, on considère un chemin continu allant de vers . Comme et , on trouve un tel que . Ce point est dans l'intersection des deux sphères .

(Dans ce dernier paragraphe, j'ai utilisé le fait qu'une sphère est connexe par arcs. C'est clairement vrai pour certaines normes (e.g. dans les espaces euclidiens). Maintenant, si j'ai deux normes sur , alors (pour et ) définit un homéomorphisme qui envoie une sphère centrée en l'origine sur une sphère centrée en l'origine.)

[Alex1504]

Merci beaucoup: ça résout le problème pour toute norme. Je suis content de voir qu’une fois encore on peut traduire une intuition géométrique en calcul algébrique (à condition d’y mettre les bonnes hypothèses). Le raisonnement est effectivement plutôt classique. Mais je n’irais pas jusqu’à dire que c’est élémentaire...

[Seirios]

Par élémentaire, je veux dire qu'aucun nouveau concept est requis. Après, une preuve doit se lire par étapes. Ici :
1) Le long de , on trouve un point sur la sphère et dans la boule .
2) On trouve un point qui est dans la sphère mais pas dans la boule .
3) On relie et par un chemin dans .
4) Le long de ce chemin, il y a un moment où on doit couper la sphère .
Le reste, ce n'est que du remplissage. Les étapes 1) et 4) sont des applications du théorème des valeurs intermédiaires, et 3) vient d'un petit lemme qui veut que les sphères sont connexes par arcs.

[Alex1504]

D’accord je comprends mieux ce que vous vouliez dire (surtout si on trace un schéma c’et très clair)

[minushabens]

Je ne connaissais pas ce théorème. J’ai cherché et c’est: dans un euclidien, toute application continue d’une boule fermée d’un euclidien dans elle-même admet au moins un point fixe.

ça c'est un autre théorème de Brouwer. Celui auquel je faisais allusion dit que le complémentaire de la sphère unité dans R^n a exactement deux composantes connexes, et que la sphère est la frontière de chacune d'elles. Et ça se généralise à la sphère unité d'un evn de dimension finie n.