Méthode des différences finies d'ordre 2 décentrée à gauche

[Methanoate]

Bonjour,

Je ne sais pas si c'est la bonne rubrique pour poser ma question...

Je cherche à résoudre numériquement le système d'équations différentielles couplées sous C# suivant (étude réalisée sur 24h soit 24x60 minutes) :

du/dt = F(u,v), où F(u,v) = -k (u - v)
dv/dt = G(u,v), ou G(u,v) = -k (u² - v²)

Pour cela j'utilise la méthode des différences finies d'ordre 2 décentrée à gauche.

Après discrétisation, cela donne (h est le pas de temps) :

u = 2/3 * [(2.0 * u1 - 0.5 * u2) + h * F(u,v)]
v = 2/3 * [(2.0 * v1 - 0.5 * v2) + h * G(u,v)]

u1 et u2 sont les valeurs de la fonction u aux temps n-1 et n-2 respectivement.
v1 et v2 sont les valeurs de la fonction v aux temps n-1 et n-2 respectivement.

Voici les principales lignes du code que j'ai écris sous C# (peut importe le langage en fait) :

 double F = 0.0;
            double G = 0.0;
          
            double u = u0;
            double u1 = u;
            double u2 = u;
            double v = u0;
            double v1 = v;
            double v2 = v;

            double h = 0.1;

            solution.Add(u);

for (int j = 0; j < 24 * 60; j++)
            {
                for (int i = 0; i < 60 / h; i++)
                {
                    
                    F = -k (u - v);
                    G = -k (u² - v²);
                                    
                    u = (2.0 / 3.0) * ((2.0 * u1 - 0.5 * u2) + h * F);
		    v = (2.0 / 3.0) * ((2.0 * v1 - 0.5 * v2) + h * G);			
                                        
                    u2 = u1;
                    u1 = u;
		    v2 = v1;
                    v1 = v;
                }

                solution.Add(u);
            }

Ce code est tout à fait opérationnel. Cependant, je souhaiterais ajouter un terme supplémentaire qui dépend explicitement du temps afin de résoudre le système suivant :

du/dt = F(u,v) + P(t)
dv/dt = G(u,v)

où P(t) = A*exp(-r*t) (fonction exponentielle décroissante).

Comment doit-on faire apparaître ce terme dans le code précédent ?

Merci pour vos réponses !
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[Methanoate]

J'ai oublié de le préciser mais dans l'expression de P(t) = A*exp(-r*t), r est donnée en en s-1 et t en s.