Injectivité, Surjectivité, Bijectivité

[Tothio]

Bonjour, bien qu'ayant fait des recherches au préalable pour répondre à ma question, mon résonnement ne semble pas le bon. Je remercie d'avance la personne qui pourra clarifier mon problème.
Le problème est le suivant: Soit f la fonction définie sur R+ à valeurs dans R par f(x) = x²−1.
(a) f est-elle injective ?
(b) f est-elle surjective ?
(c) f est-elle bijective ?

Ma réponse était la suivante:

(a) Pour tout x, x' appartenant à R+, f(x)=f(x') => x²-1=x'²-1
=> x²=x'²
=> √x²=√x'²
=>x=x'

Conclusion: f est injective.
Mais d'après le peu de correction disponible sur cet exercice, je ne dois pas procéder comme cela.
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[Médiat]

Bonjour,

Votre rèsonnement est faux, vous devriez essayer un raisonnement :

x²=x'²
=> √x²=√x'²

Ceci est complètement faux ! Essayez en écrivant x² -x'2 = 0

[Médiat]

Oops je me suis trompé de ligne (comme gg0 me l'a fait remarquer) ; l'implication fausse est

√x²=√x'²
=>x=x'

(en tout cas sans justification, avec ma proposition il n'y a aucune ambiguïté)

[gg0]

Heu :
Avec au départ "Pour tout x, x' appartenant à R+", cette implication est bien correcte. la racine carré de x² est bien x.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

J'aurais aimé voir que parmi x et -x l'un des deux est strictement négatif, ou x = -x = 0

[Tothio]

Bonjour, merci pour vos réponses, il existe bien dans le corrigé partiel, une réponse qui ressemble à ce que vous proposez Médiat mais à vrai dire je ne l'ai pas comprise car celle-ci s'écrit de cette manière en utilisant un système avec y (je ne savais pas que c'était possible pour l'injectivité):

x²-1=y }
x'²-1=y } => x²-x'²=0 <=> (x-x')(x+x')=0 <=> x=x' ou x=-x'
Mais x,x appartiennent à R+, donc x=x'
Donc f est injective.

Pour la surjectivité j'ai trouvé que f est surjective mais, toujours d'après cette correction, elle ne le serait pas et je n'ai pas de justification :/

Encore merci pour le temps que vous voudrez bien m'accorder

[gg0]

Bonjour.

la solution que tu copies est fondamentalement la même que la tienne. Si Médiat préfère la factorisation (moi aussi en général), je préfère nettement ta présentation avec f(x) (c'est le y de ta correction) qui évite de rajouter une lettre en plus. Et si x et x' appartiennent à R+, la fin de ton corrigé est un peu bizarre (le x=-x' est tout à fait possible. Si x=-x'=0).

Pour la surjectivité, peux-tu nous donner ton raisonnement (qui prouve que f est surjective) ?

Cordialement.

[Tothio]

Merci pour cette réponse, je comprends mieux maintenant que je vois à quoi correspond le y.

Pour la surjectivité, voici mon résonnement:

Soit y appartenant à R tel que, x²-1=y:
<=> x²=y+1
<=> x= + √y+1 ou - √y+1

√y+1 appartenant à R+, f est surjective

[gg0]

1) il va falloir apprendre à écrire raisonnement lorsqu'il s'agit de maths (le résonnement est ce que fait la cloche après qu'on l'ait tapée, elle résonne).
2) Finalement, vu ce que tu fais avec les racines carrées justifie les remarques de Médiat. la ligne
<=> x= + √y+1 ou - √y+1
est une absurdité. peux-tu rappeler la définition de √y ?

[gg0]

Pour éclairer mon propos, et voir la question d'une autre façon, je te conseille d'étudier la fonction f (comme en première) pour vois pourquoi elle est injective et si elle est surjective (*)

Cordialement.

(*) j'espère que tu as compris la signification de surjectif. Ça peut se dire sans notation mathématique, avec une phrase simple en français. Tout comme injectif se définit par "ne prend pas deux fois la même valeur".

[PlaneteF]

Bonjour,

Pour la surjectivité j'ai trouvé que f est surjective (...)

Dans l'éventualité où cela serait bien le cas, vu que l'ensemble d'arrivée est , cela voudrait dire que tout élément de possède un unique (unique puisque qu'injective) antécédent.

Dans ce cas, pourrais-tu par exemple nous donner l'unique antécédant de

[PlaneteF]

antécédant

antécédent (grillé par les 5 mins )

[Tothio]

Excusez moi gg0 pour cette faute absurde. Est surjective toute fonction qui admet au moins un antécédent dans l'ensemble de départ par image de l'ensemble d'arrivée. C'est correct dit ainsi ?
En étudiant la fonction, on voit qu'elle est décroissante sur [0, 1[ et croissante sur [1, +infini[. Sa dérivée est 2x.

Bonjour PlaneteF,

Si je cherche l'antécédent de -2 par la fonction j'obtiens √-1 ou -√-1 qui sont des résultats non réels.

x²-1 = -2
<=>x²=-1
<=>x=√-1 ou x=-√-1

Du coup comme j'ai "au moins un antécédent" et ici en l’occurrence plus d'un ma fonction n'est pas injective mais surjective ?

[jacknicklaus]

x²-1 = -2
<=>x²=-1
<=>x=√-1 ou x=-√-1

Du coup comme j'ai "au moins un antécédent" et ici en l’occurrence plus d'un ma fonction n'est pas injective mais surjective ?

Sérieusement !

1) quelle signification donnes tu à l'écriture √-1 ?? A t-elle le moindre rapport avec l'exercice ?
2) est ce que ce √-1,quelque soit la signification que tu lui donnes, est un élément de l'ensemble de départ R+ ?
3) revoir les définitions de surjection et injection

[PlaneteF]

En étudiant la fonction, on voit qu'elle est décroissante sur [0, 1[

Euh ben non

√-1 ou -√-1

Ca fait depuis belle lurette que l'on utilise plus cette notation jugée "dangereuse". On écrit bien évidemment et

Du coup comme j'ai "au moins un antécédent"

Dans ?

ma fonction n'est pas injective (...)

Elle est injective, tu l'as démontré précédemment

[gg0]

Est surjective toute fonction qui admet au moins un antécédent dans l'ensemble de départ par image de l'ensemble d'arrivée. C'est correct dit ainsi ?

C'est correct.

En étudiant la fonction, on voit qu'elle est décroissante sur [0, 1[ et croissante sur [1, +infini[. Sa dérivée est 2x.

Là, tu fais n'importe quoi !! C'est une fonction qu'on peut étudier en seconde, dont l'étude sérieuse en première est ultra-facile ! Et tu viens dire une énormité !!
Sa dérivée est 2x. Quel est le signe de 2x pour x dans R+ ? Donc quel est le sens de variation de f ?

[gg0]

Tothio,

tu n'as pas répondu sur la définition de √y; et tu écris des absurdités ...
Rien ne sert de répondre n'importe quoi, en croyant faire plaisir, c'est déjà une mauvaise idée à la maternelle !! Tu dois savoir ce que signifie ce que tu écris. Tu emploies des racines carrées depuis le collège, il est temps d'apprendre ce que c'est : Cherche la définition précise et apprends-la. Si tu l'avais fait un jour, cet exercice serait fini !