Curiosité sur les nombres premiers

[Ramoucho]

Bonsoir

En me renseignant sur les nombres premiers, j'ai remarqué des propriétés intéressantes : si l'on prends la racine carré d'un nombre premier par exemple rac(11) = 3.316... et que l'on prend les chiffres premiers plus petit que le résultat trouvé ici 2 et 3 et qu'on applique respectivement :

(a-1)/2! et (a-1)(a-2)/3! pour les chiffres premiers 5, 7, 11, 13, 17, 19 et 23, on obtient des chiffres entiers pour les nombres premiers et des chiffres décimaux pour les chiffres composés (ça marche jusqu’à 5² soit 25)

par exemple avec un chiffre premier : (11-1)/2! = 5 et (11-1)(11-2)/3! = 15 on obtient que des chiffres entiers

autre exemple avec un chiffre composé : (9-1)/2! = 4 et (9-1)(9-2)/3! = 9.333333333 l'une des opérations donne un résultat avec des nombres décimaux vu que 9 n'est pas premier.

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En prenant un exemple plus grand par exemple 31 : rac(31) = 5.568... et qu'on rajoute également (a-1)(a-2)(a-3)(a-4)/5! en plus de (a-1)/2! et (a-1)(a-2)/3! on obtient que des nombres entiers pour les nombres premiers de 7 à 47 et des nombres décimaux pour les nombres composés.

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Pour résumer :

1) on prends un chiffre "a" on calcule sa racine carrée "rac(a)" et on regarde les chiffres premiers qu'il y a avant : p₁, p₂, p₃, ... p_n

2) On regarde ensuite pour chaque formule suivante : (a-1)/2!, (a-1)(a-2)/3!, (a-1)(a-2)(a-3)(a-4)/5! , ... , (a-1)(a-2)(a-3)...(a-(p_n-1))/p_n! si on obtient que des chiffres entiers pour chaque termes : alors a est premier sinon a est composé.

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Voila je voulais savoir si c'était quelque chose d'évident pour vous de voir ces propriétés des nombres premiers ou alors pas du tout. Perso je ne suis pas mathématicien et je trouve ça plutôt surprenant.
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[invite9dc7b526]

bonjour,

petite critique: tu confonds "nombre" et "chiffre".

sur le fond, je vais sans-doute m'avancer un peu mais je trouve tes calculs un peu saugrenus et ça me paraît peu probable que ça fonctionne autrement que par hasard sur des petits nombres. en fait tu considères les chiffres du développement décimal d'une racine carrée. La racine carrée te fait sortir du domaine de l'arithmétique et il y a une part d'arbitraire dans le choix du développement décimal. Je ne vois pas bien comment le fait qu'un nombre soit premier serait encodé dans les chiffres décimaux de sa racine carrée.

mais peut-être que je manque d'imagination et que tu as mis le doigt sur quelque-chose de profond. Pour commencer tu devrais essayer des grands nombres premiers, enfin plus grands que 31. Si tu ne trouves pas de contre-exemple il faudra trouver une explication.

[invite9dc7b526]

je m'aperçois que je n'avais pas du tout compris ce que tu as fait. C'est à cause de ton emploi du mot "chiffre" pour "nombre". Donc tu considères les nombres premiers plus petits que la racine carrée du nombre dont tu veux tester la primalité. Ca n'a finalement rien à voir avec le développement décimal comme j'avais cru le comprendre.

[Ramoucho]

Bonjour,

Merci pour la réponse et désolé pour la confusion entre chiffre et nombre.

Sinon je vais tester pour des plus grands nombres premiers pour voir si j'obtiens toujours des résultats entier

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Problème avec a=100 : On obtient des entiers et 100 est composé.
Je n'ai pas testé des premiers (sauf 97). Mais il y a des rapports avec la divisibilité des coefficients binomiaux par les premiers (on teste des C(a,k)/a, avec k>0 et k "petit", qui sont donc tous des entiers.

En bilan : C'est une réécriture d'une propriété connue des nombres premiers, et il est connu aussi qu'elle n'est pas caractéristique des nombres premiers.

Donc une découverte personnelle amusante, mais rien de nouveau.

Cordialement.

[invite23cdddab]

Soit un nombre premier.

est entier, on a donc



Ainsi, comme est un facteur premier de , c'est un facteur premier de . Mais n'est pas un facteur premier de (qui est un produit d'entiers strictement plus petits que ), donc est un facteur premier de .

C'est à dire que divise , ou encore que est un entier.


Maintenant dans ton message initial, tu conjecturais aussi la réciproque. Je ne sais pas si elle est correcte (il faudrait que j'y refléchisse), mais en tout cas, 100 n'est pas un contre exemple ( C(100,2)/100 = (100-1)/2! = 49.5 qui n'est pas entier)

[Ramoucho]

Merci pour vos réponses