Curiosité mathématique sur les nombres premiers ?

[Meiosis]

Bonsoir,

J'ai "découvert" un peu par hasard cette formule :





On prend k < 21 (k entier naturel non nul) et p=1. On résout ensuite le système pour obtenir la valeur de (x;y) ou (x';y') solution de la forme (x=a*n;y=b*n) idem (x'=a'*n;y'=b'*n).

On prend n=1.

Ce que je remarque avec k < 21 et p=1 c'est que x'+y' OU x+y est un nombre premier. Donc j'ai 20 nombres premiers de suite avec ces paramètres.

De la même manière en prenant p=2 j'ai 18 nombres premiers de suite (k < 19 donc).

En prenant p=0.5 j'ai aussi 18 nombres premiers de suite.

J'aimerais savoir si c'est un simple hasard (mais je ne pense pas) et sinon avez-vous une idée de comment le démontrer ? Car je ne vois pas comment ça s'explique.

Peut-on prévoir d'autres paramètres pour lesquelles on aurait aussi une suite de nombres premiers (peut-être plus longue que 20 ?). Y'a-t-il un cas général à cette formule ?

Merci à vous.
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[jacknicklaus]

En 1772, Euler trouve un polynôme très productif: n(n+1) + 41.

En 1798, Legendre propose n(n-1) + 41.
Legendre montre qu'une fonction algébrique rationnelle ne peut pas produire que des nombres premiers.

En 1752, Goldbach prouve qu'un polynôme à coefficients entiers ne peut pas donner que des premiers pour toutes les valeurs entières.
Il existe un polynôme à coefficients entiers et à dix variables qui ne produit que des nombres premiers, mais il s'agit en fait d'un jeu d'équations diophantiennes. Il en existe un autre de degré 25 avec 26 variables qui ne produit que des premiers.

Le record est détenu par François Dress et Bernard Landreau (2012) avec 58 premiers successifs pour un polynôme du 6e degré.
Certains polynômes ont été redécouverts dans la compétition Internet : Al Zimmermann’s Programming Contest, Prime Generating Polynomials, organisée par Ed Pegg Jr en juillet 2006.



source : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgv...er/formule.htm

[Deedee81]

Salut,

Voir aussi : https://fr.wikipedia.org/wiki/Formul...mbres_premiers

Il n'existe pas, à ma connaissance, de méthode générale de construction de tels polynômes/formules.... du moins des méthodes utiles (dans le sens, rapides et efficaces pour les calculs). A confirmer.

[Meiosis]

En effet j'avais vu ces pages.

Mais je me demandais pour la formule présentée ici, y'a-t-il moyen de comprendre pourquoi elle produit de telles suites de nombres premiers ?

[A voir en vidéo sur Futura]