Théoreme des difféomorphismes locaux

[invite270c37bc]

Bonsoir!

Serait-il possible que quelqu'un trouve l'inverse d'une fonction comme celles ci : ?



G(x,y) = (x^2 - y ^2)
F(x,y) = (x^2 - y ^2 ; 2xy)

qu'est ce que cela donnerait ? je ne vois pas comment procéder.

merci, bien à vous
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[invite5357f325]

F peut être vu comme une fonction complexe à une variable complexe, z -> z^2. Si a est non nul, alors F est localement inversible au voisinage de a (il suffit de prendre une racine carrée. L'écrire sous forme réel n'est pas très dur).

Comme G va de R^2 dans R, que signifie un inverse de G ?

[invite270c37bc]

honnetement j'en ai aucune idée si je pouvais avoir un premier exemple dans ce cas là je serai capable par la suite d'en faire d'autres mais comme ça je n'arrive pas vraiment.

Le cas R dans R oui : par exemple la fonction ; on a

[invite5357f325]

Ok, concentrons nous sur F, est ce que tu es d'accord avec ce que j'ai dis ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite270c37bc]

j'ai pas réellement vu l'analyse complexe mais je suppose que tu définies z = |x+iy| ?

quand tu dis a tu parles d'une des deux composantes (donc a = x ou a = y dans mon écriture, au choix )?

[invite270c37bc]

personne ? c'est assez important pour moi d'avoir un exemple comme ça

[invite57a1e779]

Serait-il possible que quelqu'un trouve l'inverse d'une fonction comme celles ci : ?

G(x,y) = (x^2 - y ^2)
F(x,y) = (x^2 - y ^2 ; 2xy)

Bonjour,

Je ne sais pas trouver l'inverse de ces fonctions parce qu'elles ne sont pas bijectives, ni même « localement bijectives ».

[invite270c37bc]

donc ça signifie que ces fonctions n'ont pas d'inverses? Je comprends pas, la Jacobienne de ces fonctions n'est pas uniformement nulle sur R^2?

[gg0]

Revois dans quel cas il y a un lien entre jacobienne et inversion locale (ou globale). Sur ton cours, ou sur Wikipédia (déterminant jacobien).

"c'est assez important pour moi d'avoir un exemple comme ça " : Dans n'importe quel cours sur le sujet, il y a des exemples.

Cordialement.

[invite270c37bc]

Mais gg0 tu dis à chaque fois de lire mon cours si je le lis si mal donne moi des conseils de lecture ? Moi je vois paq dexemples dans les 4/5 cours différents que j'ai ou à la limite juste un exemple trivial le cercle mais jamais des trucs plus complexes comme ceux que j'ai donné.

Enfin c'est justement pour bien capter le theoreme que je demande cet exemple... Si j'ai bien compris il faut que la jacobienne soit inversible... Je sais pas trop juste expliquez moi svp ? :/ enfin moi les deux fonctions que j'ai donné me semblaient inversibles

[invite9dc7b526]

Il existe des bijections de R^2 dans R mais la fonction G que tu donnes n'en est pas une, elle est trop régulière. Quant à F tu vois immédiatement que (x,y) et (-x,-y) ont même image.

[invite270c37bc]

Et des inverses locaux ? Javais étudié une fonction avec qui avait deux inverses en fonction de l'intervalle. Pour lapplication x^2+y^2=1 cest la meme chose jimagine

[invite9dc7b526]

x^2+y^2=1 est une équation, pas une application. Mais... je crois que je comprends ce que tu veux faire: tu cherches a écrire une coordonnée en fonction de l'autre sur une variété définie par une équation F(x,y)=0 ? c'est-à-dire à appliquer le théorème des fonctions implicites. C'est ça?

[invite270c37bc]

En fait je suis face à une impasse reflexionnelle depuis 1 semaine. Jessaye de comprendre le theoreme des fonctions implicites, celui des diffeomorphismes locaux et les multiplicateurs de Lagrange. Et comme cela doit aussi se voir sur un autre post (ou je parle plus des multiplicateurs de lagrange) je suis un peu perdu... Je comprends tout à fait le principe que une fonction à n+m variables, si on se place autour d'un point où les m variables varient regulierement (autrement dit la differentielle est de determinant non nul) alors on peut trouver une relation et donc trouver m fonctions qui decrivent ces m variables. Mais je ne vois vraiment pas où rentrent en jeu le fait de mettre une parametrisation, de decrire une variété (le =0) et ca trouble totalement mon language puisque je ne sais même pas où cela rentre en compte dans mon discours !

Donc je crois qu'un exemple pourrait m'être utile... Au final je crois que la réponse a ta question est oui mais je n'en suis meme pas sûr...

[invite57a1e779]

Bonjour,

Tu veux utiliser le théorème des fonctions implicites à l'équation .

Il faut :
1. la mettre sous forme implicite à l'aide d'une fonction , par exemple : ;
2. en connaître une solution, par exemple .

Comme , il existe un voisinage connexe de de dans et une application de dans tels que:
1. ;
2. ;
3. a la même classe de différentiabilité que .

Le calcul explicite d'une expression de à l'aide usuelle n'est pas toujours possible.
Dans l'exemple :


La première équation fournit les ouverts connexes qui conviennent, ce sont les intervalles tels que : .

La seconde équation fournit, du fait que la condition , c.-à-d. impose le signe : .

[invite270c37bc]

Honnêtement c'est parfait merci. Dans le cas de fonction de R^n dans R^m on peut trouver m fonctions avec la même methode ?

Par exemple pour G(x^2 - y^2,2xy) on separe la fonction en G1 et G2 et on refait la meme chose que toi dans le message précédent ?

[invite57a1e779]

Honnêtement c'est parfait merci. Dans le cas de fonction de R^n dans R^m on peut trouver m fonctions avec la même methode ?

Je prends l'exemple de la courbe de Viviani, définie par l'équation : où est la fonction de dans définie par : .

Le point de coordonnées appartient à la courbe, et en ce point, les dérivées partielles de sont :


et les déterminants jacobiens :


sont tous trois non nuls.

Le théorème des fonctions implicites assure que l'on peut localement obtenir deux coordonnées au choix en fonction de la troisième, par exemple en fonction de ; il existe donc un voisinage convexe (intervalle) de et une fonction de dans tels que :

1. ;
2. ;
3. est de classe comme .



L'intervalle est par suite contraint par : , et la condition ; impose le choix des signes : .

Si l'on change de point pour le point de coordonnées , les dérivées partielles de sont alors :


d'où les déterminants jacobiens :


dont seul le second est nul : le théorème des fonctions implicites assure seulement que l'on peut calculer en fonction de , pour appartenant à un intervalle contenant .

Si l'on considère le point de coordonnées , les dérivées partielles de sont alors :


et les déterminants jacobiens sont nuls : le théorème des fonctions implicites est inutilisable.

On peut obtenir ainsi l'existence, et éventuellement l'expression explicite, d'une représentation paramétrique locale de la courbe considérée en fonction d'une des coordonnées, ce qui ne préjuge en rien de l'existence d'une représentation paramétrique globale en fonction d'un paramètre autre que l'une des coordonnées.

La courbe de Viviani admet en effet la paramétrisation rationnelle globale :

Par exemple pour G(x^2 - y^2,2xy) on separe la fonction en G1 et G2 et on refait la meme chose que toi dans le message précédent ?

Non, il s'agit ici du théorème d'inversion locale, c'est-à-dire du théorème de fonctions implicites utilisé pour la fonction défiie par : où est un point en lequel la différentielle de est bijective, mais on ne pourra en général pas calculer explicitement la bijection réciproque de cette restriction.

Dans l'exemple, la différentielle de est bijective en tout point autre que : le théorème d'inversion locale assure qu'il existe alors un voisinage de et un voisinage de tels que la restriction de à soit un difféomorphisme.

On peut ici résoudre explicitement le système : sous la forme avec où et par suite sont différents de .

On remarque : , et on en déduit :


et on détermine les signes pour avoir : .

[invite270c37bc]

super description de la situation encore merci!

puis je demander quelques précisions?
dans le cas d'une fonction de R^n dans R^m, quelle est la condition sur les dérivés partielles ? ici tu fais quelques calculs de determinants mais moi j'avais cru comprendre (et j'avais noté dans mon cours) qu'il s'agissait du déterminant de la matrice mxm avec sur les lignes la dérivé partielle de la i-ième fonction d'arrivée, et sur les colonnes la dérivé partielle selon la j-ième variable. Je ne vois pas trop le rapport...

ensuite comment sais tu que U = (0,1) ? en regardant l'expression des fonctions avec la racine?

est-ce qu'il existe des théorèmes connus à propos de la paramétrisation d'une variété avec une seule variable (comme tu l'as fait avec t, ce que t'appelles paramétrisation globale réelle) ?


voila merci encore!

[invite57a1e779]

dans le cas d'une fonction de R^n dans R^m, quelle est la condition sur les dérivés partielles ? ici tu fais quelques calculs de determinants mais moi j'avais cru comprendre (et j'avais noté dans mon cours) qu'il s'agissait du déterminant de la matrice mxm avec sur les lignes la dérivé partielle de la i-ième fonction d'arrivée, et sur les colonnes la dérivé partielle selon la j-ième variable. Je ne vois pas trop le rapport...

Les déterminants que j'ai calculés sont justement construits avec les dérivées partielles comme tu le dis... tu peux t'en convaincre si tu prends la peine de le vérifier.

comment sais tu que U = (0,1) ? en regardant l'expression des fonctions avec la racine?

Ben, oui !

IL ne faut pas confondre deux choses :
— le théorème des fonctions implicites qui assure, du point de vue théorique, l'existence du voisinage connexe U, et de la fonction f définie sur U qui ..., mais qui, du point de vue pratique, ne permet d'expliciter ni U, ni f ;
— le calcul effectif, avec une équation implicite sympathique, de la fonction f, et par suite du voisinage connexe U sur lequel elle est définie, calcul qui est éventuellement possible même lorsque les hypothèses du théorème des fonctions implicites ne sont pas satisfaites.

Ici, j'ai donné des exemples, ou l'on peut vérifier, par le calcul, le résultat fourni par le théorème des fonctions implicites, ce qui rend caduc l'emploi du théorème puisque le résultat obtenu par le calcul est explicite...

est-ce qu'il existe des théorèmes connus à propos de la paramétrisation d'une variété avec une seule variable (comme tu l'as fait avec t, ce que t'appelles paramétrisation globale réelle) ?

Obtenir des résultats globaux, c'est généralement difficile : le principe des variétés, c'est de travailler en local sur des cartes, puis de voir si on peut recoller les morceaux, mais on rencontre beaucoup d'obstructions au recollement global.
Il existe quelques théorèmes qui assurent l'existence d'une représentation paramétrique globale pour une sous-variété de Rⁿ.
Ce sont souvent des théorèmes portant sur les variétés algébriques qui peuvent être paramétrés par des fractions rationnelles.

[invite270c37bc]

Sincèrement pour le déterminant je vois pas... J'avais écrit ma matrice et je vois pas le rapport :/ c'est pas juste de la mauvaise foi. Tu calcules les mineurs ?

[invite57a1e779]

JLe point de coordonnées appartient à la courbe, et en ce point, les dérivées partielles de sont :


et les déterminants jacobiens :


sont tous trois non nuls.

M'enfin ! Je calcule bien les déterminants avec les dérivées partielles !
Que ne comprends-tu pas ?

[invite270c37bc]

Dans les énoncés de théorèmes que j'ai pu lire, et sur lesquels j'ai réfléchi, il faut que le déterminant d'une grosse matrice qui regroupe toutes les informations soient différentes de 0. Et ici je n'arrive pas à faire le lien avec les trois petites matrices, désolé :/

[invite57a1e779]

Dans les énoncés de théorèmes que j'ai pu lire, et sur lesquels j'ai réfléchi, ...

J'aimerais avoir un de ces énoncés pour que je puisse me couler dans son cadre.

[invite270c37bc]

c'est bon j'ai compris à quoi cela correspond. En fait tu calcules chacunes des colonnes de la matrice dont je parle

merci pour tout et bonne journée!