Bonjour,
Est-ce que quelqu'un aurait un pointeur sur un texte décrivant le groupe des difféomorphismes du plan conservant la surface. (En particulier, est-il de dimension finie?)
Sauf erreur, ce sont les difféomorphismes tels qu'en tout point le jacobien soit égal à 1.
Merci d'avance,
Bonjour,
En dimension deux la déterminant est une forme symplectique, il faut donc que tu cherche du coté des symplectomorphisme. Cependant ça ne se généralise pas aux volume, car une forme symplectique est une deux forme différentielle, et la forme volume est de dimension n en générale. Pour ce qui est des liens j'en ai pas qui soit simples et non abstraits.
Bonne continuation
Thanks!Envoyé par GUTS
Effectivement, en gougoulant symplectomorphisme, on ne tombe pas sur de la vulgarisation ou synthèse !!Pour ce qui est des liens j'en ai pas qui soit simples et non abstraits.
Et il n'y a pas de "mot clé" pour le n-volume en général ?
Salut,
Juste une idée comme ça.
Toutes les applications linéaires de déterminant 1 et les translations font parties du groupe des difféomorphismes préservant le volume.
Il faut maintenant se demander si il n'y en a pas d'autre.
Un difféomorphismepréservant l'aire doit vérifier l'équation aux dérivées partielles suivantes.
Comme c'est une équation ne comportant que des dérivées premières, j'aurais tendance à dire que les applications linéaires sont les seules possibles. Mais je peux me tromper, ce n'est qu'une intuition.
Sauf erreur la fonction ci-dessous répond aux critères et n'est pas linéaire.
(x,y) --> (x/(3y²+1), y3+y)
[D'ailleurs, est-ce que cela ne montre pas immédiatement que c'est nécessairement plus gros qu'un groupe de Lie de dimension finie ? Toute bijection de R h dérivable de dérivée ne s'annulant pas permet de construire (x,y) --> (x/h'(y), h(y)), non?]
Dernière modification par invité576543 ; 27/07/2010 à 15h44.
par contre il me semble avoir lu quelque-part (mais je ne saurais pas le montrer) qu'une transformation de R^n dans R^n qui préserve toutes les mesures de longueur, surface, volume, etc jusqu'au n-volume, est nécessairement une "rigid motion" (je ne me souviens jamais de l'équivalent en Français de cette expression) donc linéaire.
Si la longueur, donc la métrique, est conservée, alors tout le reste l'est, non?
Sylvestre les symplectomorphismes les plus simples sont les différentielles d'ordre deux des hamiltoniens de systèmes conservatifs. Ils sont donc asses nombreux. L'example le plus simple c'est le moment cinétique pour des force centrale(champs de vecteurs invariants par rotation).
Ambrosio, effectivement si une application préserve la longueur elle préserve le volume puisque c'est une isométrie et que le volume est définie à partir de la longueur...Mais je crois qu'il y a un théorème qui de cela mais il faut préserver une chacun des élément de la base canonique des deux formes différentielles. (Mais rien est moins sur...
)
Pour ce qui est des textes il y a Arnold qui prêchait pour une mathématique proche de la physique( avec un livre d'un haut niveau théorique. Parce que pour les bouquin de math c'est aspect fondamentale de la géométrie est très souvent étouffé dans des contenus théoriques différents... Pour ce qui est du groupe infinitésimale faut voir du coté des goupes de lie. Mais la je connais vraiment aucune référence qui ne que traite de Sp(n)
Cela ressemble à quoi en 2D ?
j'ai dû confondre avec le théorème de Mazur-Ulam. Pour une application quelconque, ni différentiable ni continue, c'est évident que la préservation de la longueur entraîne celle du volume?Ambrosio, effectivement si une application préserve la longueur elle préserve le volume puisque c'est une isométrie et que le volume est définie à partir de la longueur...
Pour une topologie métrique, est-ce que préserver la longueur n'impose pas la continuité?
Par ailleurs, comme le volume infinitésimal s'exprime en fonction des éléments infinitésimaux de longueur, est-ce que cela ne suffit pas à ce que la conservation des longueurs entraîne la conservation du volume ?
ben oui c'est évident. Quel âne je fais!
En 2D le hamiltonnien classique c'est énergie cinétique + énergie potentiel. http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9..._hamiltonienne
En fait le hamiltonien est de départ souvent le même puisque lorsque ton systeme n'est pas conservatif tu fais passer toutes les autre forces du style réactions frottements ect... du même coté que les autre forces et le tour est joué...(système conservatif = somme des forces nulles).
Les symplectomorphismes eux même n'ont pas une tête particulière mais leurs dérivée qui préserve la forme symplectique, elle possède une forme qu'il est plus facile de classer...
OK
H(x,y,t) = y(t)²+f(x(t))
Mais il est où le symplectomorphisme, le difféomorphisme d'une variété 2D ?
SI tu prend H = 1/2(1/q² + p²q^4) et comme changement de variable Q= pq² P= 1/q ça fonctionne. C'est un oscillateur harmonique.
Pour ton hamiltonien je te conseils de commencer par ceux qui ne sont pas dépendant du temps ça complique pas mal les choses... Et puis de faire attention au notation dans le mystérieux espace des "phases" (ou plus simple fibré tangent ). Parce qu'en fait tu considère à la fois une variété et son plan tangent . Si bien que lorsque ton hamiltonien dépend de deux variables le mouvement se passe dans un espace à une dimension...(Pour l'exemple c'est un ressort unidimensionnel).
Je cherche à exprimer des difféomorphismes du plan indépendamment de toute interprétation mécanique. Avec des bêtes formules appliquant à un point (x,y) un autre point f(x,y), sur le plan muni de la 2-forme surface orientée classique.
Je vois vaguement une relation avec le fibré cotangent d'une droite et une interprétation dans le cadre de la mécanique (le fibré étant alors positions x impulsions), mais je cherche à exprimer les difféomorphismes respectant la surface dans le langage des simples maths du plan.
Le problème est bien le même simplement il faut d'abord une forme symplectique, un hamiltonien ou une forme de Liouville. une fois que t'as trouvé un symplectomorphisme tout les autres sont paramétrés à l'aide du groupe symplectique. A la façon dont les solutions d'un système d'équation linéaire dépends d'une exponentielle de matrice. Mais ce qu'il faut remarquer c'est que la composition d'un symplectomorphisme et d'un élément du groupe symplectique est encore un symplectomorphisme.Je suis pas trop motivé pour passé en mode Latex désolé. La méthode de résolution que je te propose c'est façon groupe de lie.
Il faut savoir que comme tu l'as dis sur le cotangent il existe une forme symplectique canonique donc après le fait de préciser l'Hamiltonien ou autre(liouville, ...) ne change rien parce que la solution de ton problème de dépend pas d'une base donné.
Mais lorsque tu choisis le déterminant c'est la forme symplectique canonique associé à la forme de Liouville.On peut donc se servir des coordonnée
Une fois qu'on est sur une variété plate, on remarque que comme la différentielle d'un symplectomorphisme est une est élément du groupe symplectique, si on utilise taylor à l'ordre un on la paramétrisation dont je parlait.
Désolé pour le double post mais en voulant simplifié j'ai été un peu hâtif.
En fait tout ce passe comme je l'ai dis sauf que si le groupe n'est pas connexe par arc, pour avoir une description totale il te faudra trouver un symplectomorphisme dans chaque arc. Et ensuite tu intègre sur la composante connexe de l'identité.
Dans tout ce que tu écris, il semble y avoir des tas d'éléments de réponse à ma question, mais l'ensemble n'est pas clair !
Ce qui est clair :
1) Le groupe symplectique en dimension 2 est un groupe de Lie de dimension 3, connexe, dont une représentation est l'ensemble des matrices 2x2 réelles de déterminant égal à 1.
2) La différentielle d'un symplectomorphisme en un point donné est un élément du groupe symplectique agissant sur le plan vectoriel tangent.
Pas clair :
3) Tu sembles dire que le groupe des symplectomorphismes du plan, en tant que variété, n'est pas connexe, et que chacune de ses composantes connexes serait isomorphe au groupe symplectique ?
4) Pour le hamiltonien, etc., je cherche toujours la traduction en simple langage d'une variété 2D quelconque (i.e., pas seulement le cas du fibré cotangent de la droite).
J'ai pas vraiment de réponse a donner sur la connexité du groupe simplectique. Mais comme tout les groupes de Lie ne sont pas connexe, c'est toujours bien de le préciser. Pour ce qui est des composante connexe c'est théorême très connu qui dis que les composante connexe d'un groupe de lie peuvent être obtenu à partir du quotient du groupe par la composante de l'identité.
Pour ce qui est du hamiltonien celui ci est la fonction d'on dérive (différentielle extérieur) la forme symplectique. Pour le déterminant on prend H = 1/2mq'² et p=q'm. Si tu es sur une variété, il faut avoir une approche locale. Sur ton espace tangent on défini un déterminant point à point(il dépend de la métrique ). L'application devra alors point à point préserver les déterminants. Tu es donc ramener au cas plat ou tu étudie le groupe Sp(n). Ca c'est pour la théorie mais après faut passer au coordonnées et la c'est sans doute compliqué de tout décrire explicitement
