Dimension sur ... et notation

[inviteaeeb6d8b]

Je te suggère de d'abord montrer que K[a] = L, en utilisant que a annule un polynôme de degré 3. Hint : Montre que a^3 est dans L. Puis a^4, puis récurrence... Ensuite, il te suffira de montrer que l'inverse de a est aussi dans L, et pour ça, tu te serviras du fait que a possède un polynôme minimal. (cf comment expliciter, pour une matrice A, son inverse en tant que polynôme en A, en utilisant le polynome caractéristique....)

C'est exactement la preuve que je proposais au début (modulo mes erreurs)

merci pour ton aide

Enfin, je maintiens que l'exercice que je t'ai proposé est fondamental, et si tu veux comprendre les choses en profondeur, il est nécessaire de savoir le faire en détail et de bien en comprendre toutes les étapes. Pour le faire, il faut maîtriser au moins la division euclidienne dans K[X], et savoir comment on détermine les idéaux de Z, ce qui est un exercice pas très difficile, que tu as certainement fait si tu as vu la définition des idéaux, non ?

Je n'ai pas dit que tu avais tort... simplement pour l'instant, je voulais me concentrer sur mon TIPE.

mais je vais faire ton exo - je reposte ce soir !

Romain

(merci à tous pour votre attention et de m'avoir aidé même si je ne comprends pas tout !)
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[invite4793db90]

Salut,

pour montrer que , il suffit de montrer que est un corps.

[invite4793db90]

Ensuite, il te suffira de montrer que l'inverse de a est aussi dans L, et pour ça, tu te serviras du fait que a possède un polynôme minimal. (cf comment expliciter, pour une matrice A, son inverse en tant que polynôme en A, en utilisant le polynome caractéristique....)

Pourquoi le polynôme caractéristique ? Sachant que , on a tout de suite , non?

[invite986312212]

pense à la construction de C à partir de R. On veut donner une racine carrée à -1 (ou encore une racine au polynôme 1+X^2). On ajoute donc un nombre i, mais on veut aussi avoir un corps, il faut donc avoir les sommes a+i et les produits bi avec a,b réels, et aussi les puissances de i, etc. on voit vite qu'on doit inclure les polynômes en i: a0+a1 i + a2 i^2+..+an i^n, et par suite les fractions rationnelles en i, mais Ô miracle, du fait que i^2 est réel, il suffit des polynômes de degré 1.
Ca te montre aussi que ton corps IK ne joue aucun rôle dans ton problème.

[invite6b1e2c2e]

Pourquoi le polynôme caractéristique ? Sachant que , on a tout de suite , non?

Bien sûr, Martini. Je dis juste que cette méthode apparaît aussi en algèbre linéaire pour montrer que l'inverse d'une matrice A est dans l'espace vectoriel des polynômes en cette matrice. Bref, juste pour souligner que c'est une méthode à connaître, et que Romain29 l'a certainement déjà rencontrée.

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rvz

[invite4793db90]

Bien sûr, Martini. Je dis juste que cette méthode apparaît aussi en algèbre linéaire pour montrer que l'inverse d'une matrice A est dans l'espace vectoriel des polynômes en cette matrice. Bref, juste pour souligner que c'est une méthode à connaître, et que Romain29 l'a certainement déjà rencontrée.

__
rvz

Ok, désolé.

Je ne sais pas si Romain a déjà vu ça...

Sinon, pour Romain, si on parlait de dimensions, c'est précisément car à l'aide de l'exercice de rvz, on connait la dimension de K(a) (c'est le degré du polynôme minimal de a) : c'est si utile que ça devient un réflexe.

Cordialement.

[inviteaeeb6d8b]

Finalement je reviens plus tôt que prévu !

si j'ai bien compris l'exo de rvz, ça m'apporte une preuve de [K(a):K]=3 .

Par contre, désolé de vous décevoir comme ça, mais la méthode de rvz pour les matrices, je ne l'ai pas vue...
et pour l'exo proposé par rvz, j'ai fait les deux premières questions sans problème mais pour la suite je crois qu'il me manque quelques notions... j'ai à peu près compris les extensions de corps mais pas le coup du poly minimal de a sur K
(je sais pas si c'est vous qui voyez trop haut ou si c'est mon prof qui a zappé la moitié du programme je répète, j'étais en MPSI et je vais entrer en MP )


Romain

[invite4793db90]

j'ai à peu près compris les extensions de corps mais pas le coup du poly minimal de a sur K
(je sais pas si c'est vous qui voyez trop haut ou si c'est mon prof qui a zappé la moitié du programme je répète, j'étais en MPSI et je vais entrer en MP )

C'est en effet du programme de MP.

Le polynôme minimal de a sur K est le polynôme unitaire de K[X] de plus petit degré dont a est une racine.

Exemples :

- le polynôme minimal de sur est .

- le polynôme minimal sur R ou sur Q d'une racine p-ième de l'unité (p premier>2) est .

- le polynôme minimal de sur Q est 0.

Cordialement.

[invite6b1e2c2e]

Il y a certainement un peu des deux. C'est clairement du programme sup++ Ne t'inquiète donc pas si tu ne comprends pas tout. Cela dit, si tu veux faire un TIPE sur ça, je crains qu'il faille que tu maitrises ces notions pour le jour J. Et je pense (bon, là, on dérive dans l'avis personnel, alors tu en crois ce que tu veux) que c'est abordable après une sup (pas facile, hein, abordable ) . Ce genre de truc peut faire un devoir conséquent en sup, si le prof a insisté sur l'algèbre.

De toute façon, on est là pour t'aider.

Pour le coup des matrices, l'exo auquel je fais allusion est le suivant :
Tu considères une matrice A inversible. Montrer que son inverse est un polynôme en A.
Pour le résoudre, tu écris le polynôme caractéristique
. Tu sais que est non nul, car c'est le déterminant de A, et tu sais par Cayley Hamilton, que la matrice A annule P. Tu en déduis que
. Tu en déduis alors que l'inverse de A, dont tu sais qu'elle existe, est exactement égale à , et c'est donc bien un polynôme en A.
Il me semble que l'on en a déjà parlé il n'y a pas très longtemps dans d'autres topics sur des questions de Bleyblue. Mais de toute façon, cette méthode ressort régulièrement...

[edit : Croisement avec Martini, comme d'hab ]
__
rvz

[inviteaeeb6d8b]

C'est en effet du programme de MP.

Ca me rassure !

Merci pour l'explication je devrais avancer maintenant !

Romain

PS : Martini, tu fais quoi exactement (tu m'as l'air quand même bien calé - t'es prof en prépa ?)

edit croisement avec rvz

Il y a certainement un peu des deux. C'est clairement du programme sup++ Ne t'inquiète donc pas si tu ne comprends pas tout. Cela dit, si tu veux faire un TIPE sur ça, je crains qu'il faille que tu maitrises ces notions pour le jour J. Et je pense (bon, là, on dérive dans l'avis personnel, alors tu en crois ce que tu veux) que c'est abordable après une sup (pas facile, hein, abordable ) . Ce genre de truc peut faire un devoir conséquent en sup, si le prof a insisté sur l'algèbre.

Je compte bien être prêt pour le jour J , mais là, c'est vrai que je viens à peine de me remettre aux maths après 3 semaines d'inactivité alors j'ai beaucoup de mal.
Sinon, ben oui, ça m'a l'air abordable (dur quand même) mais j'avance doucement !

Sinon, mon prof, son truc, c'était plutôt la géométrie hyperbolique...

Romain

[inviteaeeb6d8b]

Re-

Pour la question 3, est-ce qu'il faut dire que le degré du poly minimal est égal à la dimension du noyau du mph considéré et que cette dimension est justement égale à [K[a]:K] ?

merci

Romain

[invitee05be71a]

Pour le coup des matrices, l'exo auquel je fais allusion est le suivant :

C'est un classique. Si on le fait en 1ère année de prépa HEC, on doit bien le faire en MPSI.

[invite6b1e2c2e]

Re-

Pour la question 3, est-ce qu'il faut dire que le degré du poly minimal est égal à la dimension du noyau du mph considéré et que cette dimension est justement égale à [K[a]:K] ?

Attention ! Tant que tu n'as pas prouvé que K[a] est un corps, tu n'as pas le droit d'utiliser cette notation. Pour l'instant, K[a] est juste un K ev comme tu as du le voir.
La bonne équivalence dont il faut être convaincu, c'est
P est dans le noyau ssi P(a) = 0.
Ensuite, il faut montrer qu'un élément de K[a], qui est à priori juste de la forme P(a), pour P dans K[X] peut en fait s'exprimer sous la forme R(a) avec deg(R) < degré(polynôme minimal).

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rvz, qui vient de s'apercervoir que l'exo en question comporte deux 3/

[inviteaeeb6d8b]

merci rvz pour ces précisions


Je vais vous donner la démo que j'ai sous les yeux :

je rappelle ce qu'on sait et ce qu'on veut :
Mes hypothèses sont
K est un sous corps de IK,

a et dans IK mais pas dans K.
a est racine d'un polynôme à coeffs dans K de degré 3,
et P ne possède aucune racine dans K.

[L:K] = 3
L inclus dans K



Mon objectif est L=K(a)

Je cite :
Montrons maintenant que K(a) = L. On vérifie aisément que K(a) est stable par produits et par différences. Il reste donc à voir que L est stable par inverse.

La suite je la comprends.

Ca devrait pas être sorcier quand même, non ? [C'est niveau Licence ! L'un de vous devrait arriver à m'expliquer]

merci beaucoup !

Romain (qui vous demande pour ne pas le stresser de vous concentrez sur cette question )

[invite4793db90]

Montrons maintenant que K(a) = L. On vérifie aisément que K(a) est stable par produits et par différences. Il reste donc à voir que L est stable par inverse.

J'aurais dit L à la place de K(a) : il suffit de démontrer que L est un corps (cf. #32).

Cordialement.

[ EDIT ] Que K(a) soit stable par produits et par différences relève de la définition : K(a) est le plus petit corps contenant a !

[inviteaeeb6d8b]

J'aurais dit L à la place de K(a) : il suffit de démontrer que L est un corps (cf. #32).

Je pensais aussi qu'il y avait une erreur.

pour montrer que , il suffit de montrer que est un corps.

Pour montrer que K(a) est inclus dans L il me faut montrer que L est un corps. Mais pourquoi ?

Après ce sera bon je pense !


merci à tous pour ce fil laborieux


Romain

[invite986312212]

Pour montrer que K(a) est inclus dans L il me faut montrer que L est un corps. Mais pourquoi ?

K(a) est le plus petit corps contenant K et a, L contient K et a.

[inviteaeeb6d8b]

K(a) est le plus petit corps contenant K et a, L contient K et a.

un grand merci à toi !


Romain