Dual topologique- Continuité des applications linéaires

[invitede92cd40]

Salut
J'ai cet exercice: Soient E et F deux espaces de banach et T:E->F application linéaire. On suppose que ∀ f ∈ F *(dual topologique de F),
la forme linéaire f o T :E->K est continue.
Je veux montrer que T est continue.
J'ai essayé de montrer que T est continue en 0.
En fait, on a f continue en 0 alors
∀ ϵ'>0 ,∃ α'>0, ||x||<α' => ||f (x)|| < ϵ'
Et pour la continuité de f o T en 0
∀ ϵ''>0 ,∃ α''>0, ||x||<α'' => ||f o T (x)|| < ϵ''
Et on a
||f o T (x)|| =||f (T (x))||<||f|| ||T (x)||<ϵ''
Supposons que f ≠ 0 alors
||T (x)||<ϵ''/ϵ'
Donc pour ϵ=ϵ''/ϵ'
T est continue en 0 alors continue.
Est ce que l'idée est juste?
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[invite23cdddab]

D'où vient l'inégalité ?

[invitede92cd40]

A oui , je me suis trompé.

[invitede92cd40]

Pouvez vous me donner des indications?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23cdddab]

Voila comment je m'y prendrait :

Si n'est pas continu, il existe une suite d'éléments de E de norme 1 tels que

Et par Hahn-Banach, on peut construire un de norme 1 tel que n'est pas continue

[invitede92cd40]

Donc on prend une suite de Cauchy (xn) de E tq
||xn||=1 et d'après Hann Banach ,il existe f ∈ F * tq ||f||=1=||xn||
Mais comment montrer que f oT n'est pas continue (on a f o T est continue par hypothèse
||f o T||<||f|| ||T|| donc ||f o T ||<||T|| mais ce résultat ne montre pas l'absurde de la continuité de f o T)

[invite23cdddab]

Que vient faire une suite de Cauchy là dedans?

L'idée c'est de construire (grace à Hahn-Banach), un de norme 1 tel que

[invitede92cd40]

Pardon,Cauchy est une erreur de frappe .
Mais j'ai pas vraiment compris votre idée ou comment construire ce f !

[invitede92cd40]

On a
||f||' =Sup x∈ E ,x≠ 0 (|f(x)|/||x ||)
Donc pour ce cas
||f||'=Sup T(xn)∈ F ,T(xn)≠ 0 (|f(T(xn))| / ||T (xn )||) =1
Donc f (T (xn))=||T (xn)||
En passant à la limite
Lim f (T (xn))= +∞ ce qui est absurde.
Est ce que c'est juste??

[invite23cdddab]

Est-ce que tu connais le théorème de Hahn-Banach ?

[invitede92cd40]

Oui ,c'est le théorème de prolongement des formes linéaires continues,mais j'ai des difficultés à l'appliquer sur cet exercice.

[invite23cdddab]

Désolé du temps mort, je me suis rendu compte que mon idée était incomplète :

Ce que je proposai :

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Soit une suite d'éléments de E de norme 1 tels que diverge

On considère le sous espace vectoriel de défini par .

On peut considérer les linéairement indépendants, et donc une base de V : si ils ne le sont pas, retirer des pour que ne restent qu'une famille libre, qui sera encore infini dénombrable(pourquoi?)

Sur ce sous espace, on défini une forme linéaire par .

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Sauf que, voila, je me suis rendu compte que ça ne marchait pas, car on n'a pas forcément la majoration pour tout .
Par exemple, si , on ne peut pas majorer |f(y)| par c||y||

Du coup, je réfléchi à un moyen de sauver la preuve, mais j'avoue manquer d'inspiration

[invitede92cd40]

En fait, j'ai fait la démonstration par le théorème du graphe fermé et j'ai obtenu le résultat.
Mais ,je vais essayer ce que vous avez proposer.
Merci