Probabilités - Tribus Boréliennes

[invite14252976]

Bonjour,

Je vais rentrer en septembre en deuxième année de cycle ingénieur et c'est pourquoi notre professeur de maths nous a donné du travail à faire sur le module de probabilité.
En effet, c'est un module assez lourd dans notre école qui m'oblige à venir vous solliciter afin de mieux comprendre. Je suis rendu sur la notion de tribu borélienne.

Pour que je puisse comprendre, il me faut un exemple concret et c'est pourquoi je vous propose d'étudier l'expérience aléatoire consistant à mesurer la durée de vie d'un composant électronique (exemple assez classique dans mon milieu mais je ne sais pas si c'est le bon pour expliquer les tribus boréliennes).

On définie l'ensemble $\Omega$ des résultats possibles qui est : $\Omega = \mathbb{R}^+$

Avec ceci, comment puis-je définir ma tribu borélienne ? Ou peut-être que quelqu'un a un meilleur exemple pour illustrer cette notion ?
-----

[gg0]

Bonsoir.

Sur il y a une infinité de tribus possibles, pour faire des probabilités. Une tribu borélienne est une tribu engendrée par les ouverts de l'espace topologique considéré. Donc étant donné un ensemble et une topologie associée (par exemple par une distance), il n'y a qu'une seule tribu borélienne.

Dans ton cas, plutôt que d'aller chercher les ouverts, regardons de quoi on a besoin : fondamentalement de savoir si la durée de vie est suffisante, si le composant est encore actif au bout d'une durée t. Donc les événements utiles sont les [0,t[ et les ]t, +oo[. On prend alors la tribu engendrée par ces événements, c'est à dire la plus petite tribu qui les contient. Il se trouve que c'est la tribu borélienne pour les ouverts habituels, donc on pourra parler des probabilités d'événements comme 2<T<3 ou T\in [5,\ 42[.

Ne passe pas trop de temps sur ces notions, une fois qu'on a compris comment marchent les probas et les variables aléatoires, il est rare qu'on s'intéresse à la tribu concernée, elle est généralement sous-entendue. Un exercice de base quand même : Soit E={a, b, c, d}; quelle est la tribu engendrée par {a} ? par {a} et {c,d} ?

Cordialement.

[invite23cdddab]

C'est effectivement un concept introduit pour des raisons techniques.

Tu peux retenir ceci : la tribu borélienne, c'est la plus petite tribu qui contient tout les intervalles.


Après, la notion de tribu revient vraiment au premier plan quand on commence à étudier la notion d'espérance conditionnelle et de processus stochastiques.