Décomposition de permutations en produit de cycles de supports disjoints

[invite50fb2aed]

Bonjour à tous,

Pourriez-vous m'aider à démontrer le théorème suivant ?

Tout élément de Sn peut se décomposer en un produit (commutatif) de cycles de supports disjoints. Cette décomposition est unique à l'ordre près.

Mon raisonnement:

L'orbite de i désigne l'ensemble des images de i par composition successive de s. Je note s, une permutation. Je voudrais montrer que les orbites des éléments de s forment une partition de s. Pour commencer, je voudrais prouver que dans une orbite tous les éléments sont forcément distincts deux à deux. En montrant cela, je voudrais montrer que les orbites sont des cycles. C'est la réalisation de la preuve qui me pose problème.
Soit n € N et i € [1; n], s € Sn. Et là, je n'arrive pas à avancer.

Merci d'avance pour votre aide.
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[invite50fb2aed]

Je reviens à la charge avec un raisonnement, j'ai enfin pu produire quelque chose. A vous de juger.

Je pars de la relation d'équivalence i ~ j <=> il existe k € N tq o^k(i) = j. L'expression o^k(i) désigne l'ensemble des images de i par permutations successives de s, la permutation considérée.
Aucune difficulté à montrer que ~ est une relation d'équivalence. Je pars de cette relation car je voudrais réaliser une partition des valeurs de s, la permutation considérée. On peut définir V l'ensemble des valeurs de s et ~ une relation d'équivalence définie ci-dessus. On a alors (V, ~). L'ensemble des classes d'équivalence de ~ forme une partition de V à condition de vérifier les conditions suivantes:

1) Pour tout i € I, Pi n'est pas vide [pas de problème car toute classe d'équivalence admet au moins un élément, lui-même]

2) Pour tout i, j € I^2, Pi inter Pj est vide [si cl(x) inter cl(y) n'est pas vide, il existe z qui appartient à cl(x) et cl(y) ie x~z et x~y. Comme ~ est symétrique, on peut écrire x~z et z~y. Comme ~ est transitive, on a x~y ce qui montre que la cl(x) = cl(y)]

3) V = la réunion de toutes les parties [pas de problème car tous les éléments de V sont au moins dans une classe d'équivalence. La réunion de toutes ces classes englobe bien toutes les valeurs]

Ce que je voudrais faire, c'est réaliser une partition selon le nombre d'orbites (partition à partir des valeurs, ex: [1,..., n]). Je n'arrive pas à le démontrer formellement mais voici ce que je veux faire, en prenant l'exemple suivant:

1 2 3 4 5 6
s = 2 4 3 1 6 5

On réalise une partition en trois ensembles: {1, 2, 4], {3} et {5, 6}. On a bien trois cycles. J'ai un petit doute sur {3} car il n'y a pas à proprement parlé de "cycle"...
Qu'est-ce que vous pensez de tout ce raisonnement ? Si cela marche, il ne manque plus qu'à montrer que la décomposition est unique. Mais j'ai un doute surtout que je ne suis pas rigoureux formellement parlant.

Merci d'avance.