Les Ensembles (recurrence) #E = n alors #P(E) = 2^n

[inviteee7431eb]

Bonjour tout le monde !
Je suis actuellement en PCSI et j'avais une question à propos d'une récurrence portant sur #E = n alors #P(E) = 2^n

[SIZE=5]Pour n = 0, E = ∅ et P(E) = {∅} est un singleton donc Card P(E) =1 = 2^0

Supposons la proposition vraie pour n et considérons un ensemble F = E∪{a} avec Card E = n et a différent E de sorte que Card F = n+1.
Une partie de F est soit une partie de E soit la réunion de {a} et d’une
partie de E et les deux possibilités s’excluent mutuellement : en termes
plus ensemblistes

P(F) = P(E) ∪ {A ∪ {a} : A ∈ P(E)}
et
P(E) ∩ {A ∪ {a} : A ∈ P(E)} = ∅.

Comme l’application
A ∈ P(E) → A ∪ {a} ∈ {A ∪ {a} : A ∈ P(E)}
est bijective (ceci parce que a différent de E) on en déduit que ces deux ensembles
ont 2n éléments et donc que
Card P(F) = Card P(E)+Card{A∪{a} : A ∈ P(E)} = 2n+2n = 2^n+1


Ma question est la suivante, pourquoi Card{A∪{a} : A ∈ P(E)} = 2^n ?
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[Médiat]

Bonjour,

a différent E

, Non,

pourquoi Card{A∪{a} : A ∈ P(E)} = 2^n ?

Vous avez une bijection évidente entre cet ensemble et P(E)

[inviteee7431eb]

Merci beaucoup de votre réponse,

En fait le truc que je ne comprends pas c'est pourquoi Card{A∪{a} : A ∈ P(E) n'est pas égal à 2 ??
Puisque P(E) = n éléments et puisque Card F = n+1 ca veut dire logiquement que {a} n'est qu'un seul élément...
Je ne sais pas si j'ai été clair. En tout cas merci beaucoup, je peine à comprendre cette démonstration.

[Médiat]

Que pouvez-vous dire de l'application
définit par

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteee7431eb]

Ça voudrait dire que l'ensemble E est "composé" de: A qui est un sous ensemble de E (il appartient à E) ou a (qui est lui aussi compris dans A ?)

[Médiat]

A qui est un sous ensemble de E (il appartient à E)

Déjà cela est faux : et sont deux choses différentes

[inviteee7431eb]

e "signifie appartient et c "compris dans...",
je ne vois où vous voulez en venir ! puisque c'est A e P(E) donc "appartient ?"
Si vous me dites ça, ça veut dire que je me trompe, j'en ai conscience mais je ne sais pas où.
J'ai dû mal à comprendre les énonces comme celui-ci.
Merci de prendre le temps de me répondre, c'est très aimable de votre part !

[gg0]

Bonjour

est par définition l'ensemble dont les éléments sont les éléments de A ou a. A étant un sous-ensemble de E, on considère donc ici tous les ensembles contenant a et éventuellement des éléments de E.

Cordialement.