Exercices : logique, récurrence, théorie des ensembles.

[V_456]

Bonjour,

Je suis actuellement en TS. J'ai lu un cours de première année de MPSI à l'addresse suivante http://bkristof.free.fr/cours/Cours%20-%20Pour%20bien%20demarrer%20l' annee.pdf, la partie sur la logique et la théorie des ensembles principalement.
Pour vérifier la compréhension du cours j'ai essayé de faire plusieurs exercices correspondant au cours à cette addresse http://bkristof.free.fr/exercices/Exercices%20-%20Pour%20bien%20demarrer%20l' annee.pdf

Pouvez-vous vérifier mes réponses? Me dire quelles questions sont justes et quelles questions sont incorrectes, si possible m'indiquer plus précisement le moment où je commet une faute. (et m'indiquer tout ce qu'il y a de faux en rapport à l'utilisation des quantificateurs, que je ne pense pas vraiment bien manipuler)

Voici mes réponses: IMG_0002.jpgIMG_0001.jpgIMG.jpg

Merci d'avance.
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[fitzounet]

Salut,

Attention exo 4 la négation de c'est >
Exo 5 pour le premier point le fait de dire implique z=0 est à mon avis pas suffisant (du moins pour un exo de début d'année) : en effet c'est vrai mais pas expliqué. Par contre comme c'est vrai pour tout epsilon positif, prendre une suite donne le résultat par encadrement et passage à la limite.

[fitzounet]

Exercice 3 question 4 j'aurais mis

[V_456]

Merci pour tes réponses.

Effectivement pour l'exo 3 question 4 je comprends, ce n'était pas très compliqué.

Pour l'exo 4, à part cette erreur entre "supérieur/inférieur ou égal" et "strictement supérieur/inférieur" mes réponses sont-elles justes?

Pour le numéro 5, je n'ai pas compris la méthode que tu proposes pour obtenir z=0. Et je reviens un instant sur ma réponse: je déduis que z=0 à partir de 0<|z|<E, car si 0<|z|<0 alors |z|=0. En admettant "pour tout epsilon positif, |z|<epsilon" vraie, cela implique que |z|<epsilon pour tout les epsilon (avec un |z| fixé) et puisque le plus petit epsilon est 0 alors |z|<0. Voilà ce que j'ai du penser en faisant l'exercice. Je vois bien qu'il y a un probleme par rapport à la stricte infériorité, mais cela a-t-il de l'importance ici? (On aurait alors 0 inférieur ou égal à |z| strictement inférieur à 0?)

[A voir en vidéo sur Futura]

[fitzounet]

Ben le fait que est souvent accepté comme 'évident', surtout lorsqu'on a rencontré ça pas mal de fois, mais il faut bien voir que le est strictement positif, c'est-à-dire que qu'à priori on sait que notre module de z est compris entre 0 et un truc plus grand que 0. Ce qui montre que |z| va valoir 0, c'est qu'on peut rendre aussi petit qu'on veut, et le moyen de le faire le plus rigoureusement qu'il soit est d'utiliser une suite tendant vers 0. Après c'est vrai que j'ai donné une expression explicite de , ce qui n'est pas obligatoire, tu peux simplement commencer par soit une suite de réels strictement positive tendant vers 0, etc etc

[V_456]

Je vois bien que la suite que tu proposais tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. Mais je ne pense pas voir comment faire le raisonnement complet et arriver au résultat, notamment en passant par un encadrement.
En fait tu poses epsilon valant le terme général de la suite (en s'assurant que cette suite est bien strictement positive pour qu'elle réponde à la définition du epsilon proposé) et puisque cette suite tend vers 0 en l'infini, on a donc epsilon tend vers 0 (tout simplement ???). La manoeuvre consisterait seulement à poser un epsilon qui tend effectivement bien vers 0?

Sinon, pour les autres exercices avez-vous des commentaires à faire?

Merci pour vos réponses.

[fitzounet]

Pour les autres exercices pas d'autres remarques, à moins que je sois passé à côté de quelque chose bien sûr !

Sinon pour l'autre truc tu peux introduire comme ça :


Soit une suite de réels strictement positifs, et qui tend vers 0 lorsque n tend vers + l'infini. , on a . Ainsi, en passant à la limite : (le passage à la limite conserve les inégalités à la seule différence qu'il rend large les inégalités stricte)

d'où le résultat.

C'est juste l'écriture rigoureuse de quelque chose qui est intuitif

[V_456]

Ok, merci encore.