Probabilités formule de Poincaré problème :

[malakasolo]

Bonsoir , actuellement sur les chapitres probabilités , je refais les exercices de mon td et je bloque sur l'un d'entre eux car je ne retrouve pas le bon résultat.

Consigne de l'exercice :
n chapeaux sont dans un vestiaire. A la suite d'une panne d'électricité chacune des n personnes reprend au hasard un chapeau. Quelle est la probabilité qu'au moins une personne prenne son chapeau ? on traitera d'abord le cas n = 3. Quelle est la limite de la probabilité quand n tend vers + l'inf?

Ai = la personne i récupère un chapeau
J'ai donc appliqué la formule de Poincaré :
p(A1 U A2 U A3) = p(A1) + p(A2) + p(A3) -p(A1 inter A2) -p(A1 inter A3) -p(A2 inter A3) + p(A1 inter A2 inter A3)

Comme les les évènements dependent de ce que Ai fait , ils ne sont pas indépendants.

p(A1 U A2 U A3) = p(A1) + p(A2) + p(A3) - p(A2 | A1)*p(A1) - p(A3 | A1)*p(A1) - p(A3 | A2)*p(A2) + p(A3 | (A2 inter A1)*p(A2 | A1) *p(A1)

Ici je me pose déjà la question du pourquoi doit on multiplier par p(Ai)
?

J'ai ensuite fait l'application numérique :
p(A1) + p(A2) + p(A3) = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1
- p(A2 | A1)*p(A1) = -( (0,5*0,33/0,33) * 0.33 ) = - 1/6
- p(A3 | A1)*p(A1) = -( (1*0,33/0,33) * 0.33 ) = -1/3
- p(A3 | A2)*p(A2) = -( (1*0,5/0,5) * 0,5 ) = -1/2
+p(A3 | (A2 inter A1)*p(A2 | A1) *p(A1) = (1*0.5/1) * 0,33 * 1 = 1/6

j'ai donc au final :

1 - 5/6 = 1/6

Alors que dans la correction on obtient 2/3

Quelqu'un peut m'expliquer svp ?
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[Médiat]

Bonsoir,

Faisons simple : la probabilité qu'aucune des 3 personnes n'ait son chapeau :
Nombre de possibles 3! = 6
Nombre de favorables : la personne 1 prend un chapeau parmi les 2 pas à lui, ensuite les deux autres n'ont pas le choix : 2

p = 2/6=1/3 et donc la probabilité cherchée est 1-p = 2/3

[Médiat]

Pour info la limite demandée est un résultat étonnant qui donne un moyen expérimental (et très peu efficace) de calculer une constante importante

[malakasolo]

Bonjour,

Pourquoi le nombre de cas possibles sera 3! ?
Pour les cas où la personne i est contraint de prendre le reste des chapeau , j'avais plus vu cela comme ca :
- la personne 1 prend un des chapeaux restants : donc p = 1/3
- la personne 2 prend un des chapeaux restants : donc p = 1/(3-2)
- la personne 3 prend un des chapeaux restants : donc p = 1/(2-1) = 1

Je n'ai pas bien compris la partie en gras dans ce que vous avez dit : Nombre de favorables : la personne 1 prend un chapeau parmi les 2 pas à lui, ensuite les deux autres n'ont pas le choix : 2.
. Comment ça la personne 1 prend un chapeau sur un total de 2 ? ce n'est pas 3 normalement ? Si la deuxieme personne prend un chapeau , il restera : 1/2 non ? vu que les le nombre d'issue c'est réduit. et le troisieme personne , il ne lui reste plus le choix donc p = 1 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[malakasolo]

Je vous envoie la photo de l'AN du prof . c'est a ces etapes que je ne comprends pas comment il fait pour avoir ca :
- p(A2 | A1)*p(A1) = -1/2 * 1/3
- p(A3 | A1)*p(A1) = -1/2 * 1/3
- p(A3 | A2)*p(A2) = -1/2 * 1/5

[Médiat]

Bonjour

la personne 1 prend un chapeau parmi les 2 pas à lui, ensuite les deux autres n'ont pas le choix : 2.

Si la personne 1 prend le chapeau de la 2, la personne 3 est obligée de prendre le chapeau de la 1, la personne 2 est obligée de prendre le chapeau de la personne 3

[malakasolo]

Ah d'accord mais dans ce cas pourquoi il y aurait 6 cas possibles ?

ET pourquoi cela donne ces resultats ?:
- p(A2 | A1)*p(A1) = -1/2 * 1/3
- p(A3 | A1)*p(A1) = -1/2 * 1/3
- p(A3 | A2)*p(A2) = -1/2 * 1/5

[malakasolo]

AH oui , je viens de comprendre, enfaite il faut voir ca comme ça :

chaque proba = 1/3 (dans le cas n =3)

et a chaque fois qu'un evenement c'est deja produit, une des issues part, donc l'espace de probabilité est reduit.

Ce qui fait que : p(A2 | A1)*p(A1) => p'A2) = 1/2 car A1 c'est deja produit
pareil lorsque :
p(A3 | (A2 inter A1)*p(A2 | A1) *p(A1) => A3 = 1 car A2 et A1 se sont deja réalisé