Exercice Test Gaussien bilatéral

[Emi2]

Bonjour, j'ai besoin de votre aide car je bloque sur cette exercice. J'ai essayé de le faire mais après je suis perdu.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît?

Voici l'énoncé:
Exercice 2 — Test gaussien bilatéral.
On considère qu’en moyenne, la tension artérielle systolique au repos des français est égale à
12, et que l’écart-type associé est 1.5. On la mesure chez 50 sujets montpelliérains et on obtient
les résultats suivants :
Somme des 50 mesures = 613.
On veut tester le fait que la tension artérielle systolique moyenne au repos des montpelliérains
est identique à celle des français. On suppose que l’écart-type associé à la tension artérielle systolique au repos est la même pour les montpelliérains que pour les français pris dans leur ensemble.
Construire et réaliser un test de niveau 5% répondant à ce problème (on demande comme d’habitude les 7 étapes constituant le test, y compris le calcul de la p-valeur dans la sixième étape).

Et mes réponses:

1) Modèle: la tension=m et on veut savoir si m=12. X1....X50
2) Hypothèses: Ho: m=12 contre H1: m différent de 12
3) Statistiques de test: X suit Y (m;1.5). X suit une loi Normale de paramètre (12;1.5)
4) Zone de rejet: R=]12+a; +infini[ ou R=]a; +infini[ (U>a)

5) Calculer a: ici alpha=5%
p(X >=12+a)=alpha
1-P(X<= 12+a)= alpha
P(X-12/2 <= a/2)=1-alpha
F(a/alpha)=1-alpha=0.95
a/2= 1.65 donc a=3.3

6) p-Valeur --> je ne sais pas comment faire
Du coup voilà ce que j'ai fait!
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[gg0]

Bonjour.

Une erreur : il est demandé un test bilatéral et tu fais un test unilatéral.
Pour la p-valeur, il te faut procéder à l'envers et partant de la moyenne de l'échantillon, il faut trouver quel risque aurait donné cette valeur comme borne de la zone de rejet.

Cordialement.
Wc

[Emi2]

Je ne sais pas si j'ai bien compris

Du coup mon modèle et l'hypothèse ne changent pas? et pour la statistique de test je ne vois pas du tout
Pour la zone de rejet c'est R=]-infini;a[U]a;+infini
et donc mon calcul de a est faux également?

[gg0]

Oui, la zone de rejet est bilatérale (des deux côtés : bi =2). Pas ce que tu dis (il ne reste que a d'acceptable), mais ]-oo,12-a[U]12+a,+oo[ avec a>0.
Le modèle est plutôt "T, la variable statistique tension systolique suit la loi N(12,1.5²)". Pour la statistique de test, comme ça ne peut pas être T (tu ne connais pas les valeurs de T dans l'échantillon, seulement la somme de 50 valeurs). Quelle variable de test vas-tu choisir ?

Cordialement.

NB : Dans ton calcul, pourquoi divises-tu par 2 dans "P(X-12/2 <= a/2)=1-alpha" ??
NBB : J'avais regardé très rapidement sur un téléphone ton premier message, j'ai répondu rapidement (et le Wc est une scorie de frappe, aucune signification).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Emi2]

Bonsoir, (déjà merci pour votre aide et désolé de répondre à votre message tardivement)

Du coup pour la statistique de test, la variable n'est pas T mais X(bar)=X1+...+X50/50 ? X(bar) suit N(12;1.5^2)

5) Calcul de a: P(X(bar) appartient à R= alpha=5%

P(12-a<= Xbar <=12+a)= alpha
P( 1.5 Xbar-12 <= 1.5a)=1-alpha
Je pense que ça à l'air tout bête mais je bloque au niveau du calcul. De plus je ne suis pas sûr que ma démarche soit la bonne.

Cordialement

[Emi2]

Je ne sais pas si c'est ça, mais peut-on dire que comme écart type est connu alors la statistique de test est
T= racine de n*Xbar-m/écart-type de x? et que T suit une loi Student

[gg0]

Tu n'as pas le choix, la seule valeur utilisable est la moyenne Xbar, ou des combinaisons de Xbar que tu pourras traiter. mais dans un premier temps, il te faut trouver la loi de Xbar, qui n'est pas N(12;1.5^2) : Voir ton cours de probabilités sur les variables aléatoires (c'est du très classique).

Tes calculs ne sont pas les bons, mais n'importe comment tu n'avances pas faute de prendre les valeurs (pourquoi continuer avec alpha alors que tu as sa valeur ? et ce m ?). N'importe comment, avant de calculer, il faut savoir quoi.

Bon travail !

[Emi2]

Bonjour,
Du coup voici ce que j'ai fait:
3) Stat de test: Xbar=X1+..+X50/50 On connait écart type alors U=(Xbar-m)=racine ecart-type/n avec U qui suit N(0;1) sous Ho et Xbar suit N(12;1.5^2/50=0.06)
5) Calcul de a: alpha=5%
5%=PHo(Uo>= a)
5%=1-PHo(Uo<=a)
= 1-F N(0;1) (a)
F N(0;1) (a) = 1-5%=95%
a=1.65
On décide H1 si Uobs>1.65
Xbar obs-12/racine 0.06/50 >= 1.65
--> Xbar obs >= 12+1.65+ racine de 0.0012
--> Xbar obs >= 12.06

6) Décision de test: 2 méthodes
a) Comparaison de la Stat de test au seuil:
- Si Xbar obs= 12.06 alors Uo obs = 12.06-12/racine de 0.0012=1.73 < 1.65. On conserve Ho
- Si Xbar obs = 12.1 alors Uo obs= 2.88 > 1.65. On décide H1

b) p-Valeur:

[gg0]

C'est toujours le fouillis, tu écris tout ce qui te vient dans le désordre.
Tu n'as pas besoin de te ramener dès le début à la loi Normale centrée réduite. Xbar suffit comme statistique de test, il suffit d'écrire sa loi sous H0. Ça fait deux lignes, écrites pour être comprises par le lecteur.
Et tu continues à utiliser une question 4 fausse. et dans la 5, même pour un test unilatéral ce serait du n'importe quoi. Il faut que tu arrêtes d'imiter sans comprendre : Apprends les propriétés de la loi Normale, tu en as besoin de différentes façons, tu comprendras ce que tu écris et tu n'écriras plus n'importe quoi.

Donc tu apprends tes leçons, tu reprends la question 3 (2 lignes), puis la 4 ("Exercice 2 — Test gaussien bilatéral." c'est moi qui souligne), et en appliquant les règles de probabilités, tu trouves les résultats pour le 5.

Cordialement.

[Emi2]

Je ne comprends pas" j'utilise une question 4 fausse?" c'est à dire la forme de rejet?

[Emi2]

Mais on est d'accord que pour ma statistique sur test bilatéral et avec écart-type connu c'est bien: T=(Xbar - m)/ racine de l'écart-type au carré/ n ?

[gg0]

1) tu ne fais pas un test bilatéral
2) Je ne sais pas trop : Soit tu as une formule de cours pour le test bilatéral, à laquelle ce que tu écris pourrait faire penser. Alors utilise-la. Soit tu n'en as pas, et je ne sais pas ce que tu fais. Au passage : "racine de l'écart-type au carré" c'est l'écart type.

Sans des notations mathématiques claires, avec référence aux formules du cours bien écrites, difficile de te dire oui ou non.

[Emi2]

J'ai noté que dans mon cours quand on connait l'écart-type on utilisait cette formule. Je bloque sur le "comment l'utiliser" et l'application numérique. Nous n'avons pas fait énormément d'exercice. Je suis vraiment perdu

[gg0]

Rédige déjà les 3 et 4 correctement, on verra ensuite pour le 5 et une éventuelle formule du cours.

[Emi2]

Bonjour, j'ai essayé de mettre au propre

1) Modèle: X1,...X50. 50 échantillons de la loi N(12;1.5^2) résumé en Xbar= X1+..+X50/50 qui suit N(12;0.06)

2) Hypothèses: Ho: m=12 contre H1différent de 12

3) Stat de test: Uo obs= Xbar-mo/racine de 0.06. Uo suit N(0,1)

4) Zone de rejet: R= ] -infini;a[U]a,+infini[. On décide H1 si Uo obs >= a; où a est le seuil à déterminer

Après pour le calcul de a je cherche encore

Cordialement

[gg0]

OK !

Je valide pour l'essentiel. Attention aux parenthèses : dans ton écriture de Xbar seul X50 est divisé par 50.
Pour a, utilise la loi de Xbar pour trouver une zone de rejet qui convient.
Cordialement.

[Emi2]

Je n'ai pas compris pour l'écriture de Xbar
J'ai essayé pour le calcul de a mais pas sûr...

5) Calcul de a: P(Xbar appartient à R)=alpha=5%
P(Xbar >= 12+a)=5%
1-P(Xbar <= 12+a) =5%
P((Xbar-12)/racine de 0.06 <= a/racine de 0.06) = 1-5%=95%

après pour moi on regarde dans les tables de la loi normal et on trouve pour 95% que a=1.65
et comme on a/0.245=1.65 on fait le produit en croix je crois et on obtient a=1.65*0.245=0.40425 ??

[gg0]

Règle de priorités des opérations (cours de sixième et cinquième) :

On a plutôt


Pour le 5, tu recopies encore une fois la même chose, sans t'occuper de la zone de rejet !! Sois sérieux !! le 5% est la probabilité, sous H₀, de tomber dans la zone de rejet (cours - un cours c'est pas pour perdre du temps en classe, c'est pour donner les principes, les règles, donc ça s'apprend)

Tu as donc


A toi de continuer en utilisant les propriétés de U.

[Emi2]

Bonjour,
notre cours est basé principalement sur des exemples. Et jusqu'à présent sur des test unilatéral. J'essaie vraiment de comprendre. Mais là je ne vois pas du tous pourquoi écrire P(X>=12 + a) est faut vu que c'est la forme de rejet.

Mais du coup je dois écrire:
P(a<= 12 et 12>= a) = 0.05

[Emi2]

Euh non pardon plutôt : P(X-12/racine de 0.06 <= a ou X+12/racine de 0.06 >= a) ?
et dans l'énoncé on sait que la somme =613

[gg0]

Pour ton test bilatéral, tu cherches un intervalle contenant 12 et tel que
(J'ai pris l'intervalle d'acceptation)
Comme la loi Normale est symétrique par rapport à la moyenne, on prend a et b symétriques par rapport à 12 :

En se ramenant à la loi Normale centré et réduite, on obtient

(J'ai rectifié la valeur de l'écart type de : )
Et tu as appris à calculer pour que cette égalité soit vraie (cours sur la loi Normale).

Cordialement.

NB : C'est un peu surprenant que tu n'aies pas de vrai cours sur les tests bilatéraux. ne serait-ce pas plutôt que tu n'as pas d'exemple, et que tu essaies seulement de copier les exemples au lieu de chercher à appliquer le cours ?

[Emi2]

Non même pas j'ai le cours et les exemples. Et dans le cours il y a beaucoup plus d'exemples. Du coup j'essaie de me baser sur les 2

[gg0]

Mais le cours explique bien ce qu'est un test bilatéral ? Même s'il n'y a pas d'exemple. Et s'il n'y a pas d'exemple, il n'y a aucune raison de copier ce qu'on fait en unilatéral.

[Emi2]

Oui je n'avais pas compris la différence entre un test unilatéral et bilatéral dans les calculs mais seulement quand on écrivait l'hypothèses. Je ne faisait pas exprès de copier

[Emi2]

On a beaucoup plus pratiquer avec des tests unilatéral. Et LE seul exercice (l'application)pr un test bilatéral c'était avec un test Student que l'on a pas corrigé. A cause du COVID on ne peut pas tout traiter en classe.

[Emi2]

Oui mais pas comment l'appliquer.

Du coup on a:

P( m-a <= X <= m+a) = 0.95
P(m-a-m/0.212 <= X-12/0.212 <= m+a-m/0.212) = 0.95
P(-a/0.212 <= X-12/0.212 <= a/0.212) = 0.95
2Pi (a/0.212)-1=0.95 = 1.95/2=0.975
Pi(a/0.212)=0.975
--> dans la table on trouve 1.96
Pi(a/0.212)= Pi(1.96)

a/0.212= 1.96 donc a= 1.96*0.212 = 0.41552

[Emi2]

donc Xobs bar- 12/ 0.212 >= 0.41552 càd Xobs bar >= 12+0.41552*0.212 >= 12.08

6) Décision du test p valeur:
On note Uoobs = 12.08 - 12 / racine 0.212 = 0.17 < a

P-value = P(Uo > 0.17) si X obs bar = 12.08

= 1-F(017) (N(0,1))
= 1 - 0.5675 = 0.4325 soit 43,25 %

7) CCl: Le test de niveau 5% ne décide pas H1. On conserve Ho ???
donc Xobs bar- 12/ 0.212 >= 0.41552 càd Xobs bar >= 12+0.41552*0.212 >= 12.08

[gg0]

Suite au message #26 :
La région d'acceptation est [12-0,4155;12+0,4155]=[11,5845;12,4155] (voir le début du message)
la valeur observée est 613/50 =12,26 qui est dans la région d'acceptation. On ne peut pas rejeter H0 au risque 5%.

La p-valeur n'est pas nécessaire ici. Pour la calculer, on cherche un risque r tel que 12,26 soit exactement à la limite de la zone d'acceptation, donc
P( m-a <= X <= m+a) = 1-r
Où m=12, donc 12,26 = m+a (m-a<12 ne convient pas) et a=0,26
Le même genre de calcul donne
Pi(a/0,212) = 1-r/2
r=2(1-Pi(1,226))=2(1-0,8899) = 0,2202

Le raisonnement avec la p-valeur donne le même résultat : r>0,05 donc non rejet de H0.

Cordialement.

[Emi2]

Bonjour,

Du coup mon calcul pour a est bon? pourquoi a = 0.26, je ne comprend pas

[gg0]

Revois la définition de la p-valeur (je l'ai clairement utilisée au message #26).
"pourquoi a = 0.26" : 613/50 = 12,26 = 12+a (le nouveau a de la p-value)
Pour ma part, je n'ai pas compris pourquoi tu prenais 12,08, qui n'est pas la valeur observée de Xbar.

Cordialement.