Mesure

[NoixCoco]

Bonjour à tous le monde !

J'ai quelques problèmes avec un exercice portant sur les espaces mesurables.
Je réécris tout de suite l'énoncé :

Soit un espace mesuré.
a) Soit une suite d'éléments de tel que la série

converge. Pour tout entier , posons . Vous montrerez que

b) Soit une mesure sur tel que . Par ailleurs, on suppose que : pour tout , .

Soit .
Vous prouverez qu'il existe tel que pour tout



Je vous explique mes problèmes.

a. J'ai essayé plusieurs choses mais j'ai l'impression de "bricoler" sans arriver à conclure. Je me suis servie du théorème qui dit que :



Donc



Après on sait que mais je n'arrive pas à le traduire autrement



2. J'ai voulu utiliser la méthode de l'absurde sans parvenir à montrer quoi que ce soit.


Je remercie d'avance toute personne qui va m'apporter de l'aide.
Bonne soirée à tous !
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[gg0]

Bonjour.

Pour la première question, tu as quasiment fini. Tu t'intéresse à la somme des derniers termes d'une série convergente (la somme de la série moins une somme partielle). Et on sait que ...
Pas d'idée pour le 2.

Cordialement.

[Tryss2]

Pour la première, il manque quand même la pièce du puzzle suivante :

 Cliquez pour afficher

Sinon, pour la question 2, par l'absurde :

Supposons qu'il existe une suite d’éléments de T qui vérifient et ,

Alors, d'après la question 1, et en reprenant les mêmes notations,


Donc l'hypothèse implique


Mais
.

En effet, et , donc


D'où contradiction.

[NoixCoco]

Bonjour,

Oui j'ai oublié des mots. On sait que converge. Je m'en rends compte aussi que bien sur et non .

Si je comprends bien ce que vous dites, j'ai :



Donc

Or converge

Mais je suis encore bloqué...

En fait j'aimerai trouvé que comme ça après j'aurai
Or une mesure est une application à valeur dans \

Mais je me rends compte qu'il faut que je montre que ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

J'espère pour toi que tu es un minimum au point sur l'analyse de L1/L2. Savoir que le reste d'une série converge tend vers 0, c'est vraiment une propriété élémentaire et ça devrait être quelque chose de naturel à ce niveau. Dans le cas contraire, tu va vraiment souffrir.

[NoixCoco]

Bonjour Tryss2,

C'est vrai, j'avais oublié cette propriété, je vous remercie de me l'avoir rappelé !

Si je reprends:

tend vers 0 car le reste d'une série convergente ( converge) tend vers 0.

Donc

Donc

Et par conséquent,

[gg0]

Attention à ce que tu écris :

ne signifie pas "tend vers 0" ().

Dans un autre message, tu écrivais : En fait j'aimerai trouvé (sic) que . Il n'y a aucune raison que ça arrive !!

Cordialement.

NB : Tu as une minute pour relire tes messages, et même une prévisualisation des messages avant de les envoyer.

[NoixCoco]

Excusez-moi pour le double poste (je n'arrive pas à modifier mon précédent message) , mais le temps que je rédige mon message, j'ai eu une réponse pour la deuxième question que je viens de voir.

J'ai quelques questions. En effet, quand j'ai voulu le montrer par l'absurde je ne m'y suis pas pris comme cela. Et je voulais savoir quand on fait un raisonnement par l'absurde la "méthode" c'est de prouver qu'il existe un tel que pour une suite et non pour toute suite on a (donc on change juste le signe de l'implication)

Ensuite vous prenez je ne comprends pas pourquoi mais soit.

Puis arrivé à je ne comprends pas pour moi c'est et on sait aussi que

Ensuite, je comprends quel théorème vous voulez utiliser, mais juste je ne comprends pas comment vous trouvez que la suite est décroissante quand vous dites

Mais je tiens à vous remercier de m'avoir donné une réponse à la question 2.

[Tryss2]

J'ai quelques questions. En effet, quand j'ai voulu le montrer par l'absurde je ne m'y suis pas pris comme cela. Et je voulais savoir quand on fait un raisonnement par l'absurde la "méthode" c'est de prouver qu'il existe un tel que pour une suite et non pour toute suite on a (donc on change juste le signe de l'implication)

Pour prouver P => Q par l'absurde, il faut prouver que (P et nonQ) implique le Faux

Ici, Q c'est ""

Donc nonQ c'est "".

nonQ implique, pour chaque l'existence d'un tel que . Et qui implique (via le reste de la démonstration) le faux.

Ensuite vous prenez je ne comprends pas pourquoi mais soit.

Pour avoir une série convergente, pour pouvoir me servir du résultat de la première question.

Puis arrivé à je ne comprends pas pour moi c'est et on sait aussi que

C'est expliqué/justifié à la ligne du dessous. Quand j'écris "Mais on a XXX. En effet blabla" J'énonce un résultat XXX, que je démontre/justifie dans blabla

Ensuite, je comprends quel théorème vous voulez utiliser, mais juste je ne comprends pas comment vous trouvez que la suite est décroissante quand vous dites

Par définition de ,

[NoixCoco]

Pour répondre à gg0,

Oui exacte, "tend vers 0" ne signifie pas mais du coup je ne sais pas comment faire.
Ou peut être il faudrait que j'utilise le théorème qui dit que si est croissante alors converge et . Mais il faudrait que j'arrive à montrer que est croissante.



En réponse à Tryss2,

Je comprends beaucoup mieux la méthode pour faire un raisonnement par l'absurde. Je pense vous avez inversé les et mais j'ai compris.

Pour le comment êtes-vous sûr que . Tout de même je suis d'accord que l'on a que converge et que est une série convergente. A vrai dire je ne vois pas bien le "lien".

Ensuite, pour revenir à c'est très clair !

Du coup si je veux aussi utiliser le théorème il faut que je montre que (je préfère le préciser si c'est juste)

or

Mas après on ne sait rien sur on sait juste sur

Ou peut être on doit dire que :

Pour tout k,

D'où


Par conséquent d'après le thorème, on a que :



Mais comment savez-vous que pour tout k ? ce qui voudrait dire après que

Donc que or d'où la contradiction

[Tryss2]

Pour le comment êtes-vous sûr que .

Je suppose la propriété "" (qui est la négation de la propriété à démontrer)

Cette propriété est vraie pour tout , donc en particulier c'est vrai pour , je note un élément de T qui vérifie . Élément qui existe d'après la propriété. Idem pour , et je note l'élément en question. Pour , je note l'élément, etc.

J'ai donc une suite (A_n) d'éléments de T qui vérifient

or

Mas après on ne sait rien sur on sait juste sur

Mais on n'a pas besoin de savoir quoi que ce soit à propos de ... C'est inutile, on ne s'en sert pas.

Mais comment savez-vous que pour tout k

Par définition de , on a , donc , et par définition des , on a

[NoixCoco]

D'accord mais finalement on a choisi pour avoir une série convergente, pour pouvoir se servir du résultat de la première question. Mais on aurait pu choisir un autre delta tant que sa série converge et que c'est ça ?
Donc en fait dès le départ, on a choisi un qui nous arrangeait.


Pour montrer alors que je peux utiliser que et donc ?

Pour ce qui est de c'est très claire, merci !

[NoixCoco]

Bonjour,

Petit update après avoir cherché/compris plusieurs choses.

Tout d'bord pour la question 2, en réécrivant toute la démonstration avec les éléments que Tryys2 m'a donné j'ai tout compris. Je le remercie sincèrement pour sa patience et ses explications très claires !

Ensuite, pour la question 1, je pense avoir trouvé.

On a montré que et on a aussi que

Donc (Ici, je doute, peut-on me confirmer que c'est correcte s'il vous plaît)

Donc

Or par définition d'une mesure est définie sur donc

Or on sait que la suite est décroissante (montrer dans la seconde question) donc d'après un théorème



Voilà ma méthode, je ne suis pas sûr à confirmer !

Bien cordialement

[gg0]

Bonjour.

Quand tu n'es pas sûr, deux possibilités :
* Rechercher quelle propriété classique tu appliques;
* ou chercher à la prouver.
Éventuellement, tu peux te dire que tu appliques une propriété classique des limites, et faute de trouver une référence, la redémontrer.

Cordialement.

[NoixCoco]

Oui effectivement c'est vrai ! J'ai aussi essayé de trouver des contre-exemples pour vérifier mes doutes

Par conséquent j'avais un doute avec les limites si cela respecté les inégalités mais la propriété est vraie.

L'autre petit doute était que si la limite de lorsque k tend vers infini est inférieur à 0 , est-ce que cela veut dire forcément que étant donné que par définition une mesure est définie sur , et la réponse est oui encore.

Par conséquent, j'ai fini l'exercice !

Je remercie gg0 aussi de m'avoir guidé, conseillé et aidé !

Bonne journée à tous
Bien cordialement

[gg0]

C'est une propriété qu'on voit dès les premières études de limites :


Le deuxième cas étant celui qui pose le plus de problèmes.

Cordialement.