Lim [( 1+ x^2) tan( x) ] / sin (2x) quand x tend vers 0.

[Rapha1138]

Bonjour à tous,

Je reprends des études après une longue traversée d’un désert sans le moindre objet mathématique à l’horizon!

Je rencontre ma question sur le sujet des équivalences de fonction en analyse comme outils pour calculer des limites.

Je comprends bien comment on trouve la limite de la fonction citée en objet (1/2 quand x tend vers 0) mais je saisi moins pourquoi lorsque je trace cette même fonction elle est définie en 0 alors que sin(2x)=0 quand x=0 ?

Il me semble que cela reviendrait à diviser par 0, je dois donc passer à côté de quelque chose d’important à comprendre avec les fonctions trigo comme sinus!

Quelqu’un peut-il m’éclairer ?

Raphael.
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[PlaneteF]

Bonjour,

Il s'agit de ce que l'on appelle communément un "prolongement par continuité".

Tu trouveras sur le Net tous les détails de cette opération. Par ex ceci : https://emaths.education/cours/prolongement-continu/

Cordialement

[PlaneteF]

Je complète mon message précédent en précisant que lorsque l'on prolonge par continuité on crée une nouvelle fonction avec son propre graphique, mais la fonction d'origine n'est toujours pas définie en 0 et sur son graphique le point (0 , 1/2) reste exclu

[Rapha1138]

Bonjour, merci pour votre réponse et le lien.
Cela répond parfaitement à mon interrogation.
Cordialement,
Raphael.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Biname]

= (1+x²)/(2cos²x)
et la limite pour x>0 vaut 1/2

[albanxiii]

Une question :



Sous la première forme, la fonction n'est pas définie en . Sous la seconde elle l'est.
Est-ce qu'il est mathématiquement correct (pour le point de vue du physicien, je connais la réponse ) de dire que ce sont deux fonctions différentes et que la seconde est un prolongement de la première ?
Question bonus : idem en remplaçant "un prolongement" par "le prolongement dont le domaine de définition est le plus grand possible" ?

[stefjm]

Je dirais que oui.
C'est du même genre que f1(x)=x/x et f2=1.

[Biname]

Je ne vois pas pourquoi ? Tracer un graphique de la première et de la seconde donne la même courbe passant par (0,0.5)?
On a affaire à une indétermination(0/0), pas à une division par zéro.

[PlaneteF]

Bonsoir,

Je ne vois pas pourquoi ? Tracer un graphique de la première et de la seconde donne la même courbe passant par (0,0.5)?
On a affaire à une indétermination(0/0), pas à une division par zéro.

Non, les 2 courbes sont différentes ; dans la première courbe le point (0, 1/2) est exclu, pas dans la deuxième. Je t'invite à lire le lien que j'ai donné en message#2

Cordialement

[stefjm]

Je ne vois pas pourquoi ? Tracer un graphique de la première et de la seconde donne la même courbe passant par (0,0.5)?
On a affaire à une indétermination(0/0), pas à une division par zéro.

Et sans parler de graphique, deux fonctions égales doivent avoir le même domaine de définition, ce qui n'est pas le cas ici.
la division par 0 n'étant pas définie (forme indéterminée ou pas).
L'abus de confondre les deux fonctions est courant en physique, en particulier dans les domaines où on intègre cette fonction puisque la valeur en ce point ne change pas la fonction intégrée...