Volume du tore croisé pour Halloween

[Newtonien]

Bonjour,
Halloween approche et j'aimerais déterminer une expression du volume d'un "tore croisé" (en forme de citrouille )
La formule usuelle issue du théorème de Guldin est V = 2pi²r²R où r est le rayon de la génératrice et R le rayon du tore n'est valable que pour les tores ouverts (R>r)
En explorant le net j'ai trouvé une formule pour l'aire du "tore croisé" (R<r) mais pas pour son volume, le tore croisé a l'air d'être délaissé par rapport aux autres tores.
Je ne maîtrise pas le théorème de Guldin et ma tentative d'intégration d'un cercle en révolution autour d'un axe est infructueuse.

Dans l'idéal j'aimerais le volume du tore croisé en fonction de R et r.

Merci pour votre aide !
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[jacknicklaus]

Bonjour, je trouve ceci : (avec naturellement r > R



où

[Newtonien]

Bonsoir, pour vérifier votre formule j'ai remplacé tous les 0 de la formule par des arcsin(R/r) puisque sin(0) = R/r on as 0 = arcsin(R/r) c'est bien ça ?
Pour un tore croisé avec R=10cm et r=10.1cm (volontairement proches) j'obtiens un volume 6.885 litres ce qui est un ordre de grandeur cohérent.
Le problème c'est que lorsque j'utilise la formule usuelle pour un tore ouvert semblable avec cette fois-ci r=9,9cm et R=10cm (valeurs pratiquement égales à celles du tore croisé précédant) j'obtiens un volume de 19,346 litres donc beaucoup plus élevé que pour le premier.
Comment un tel écart est-il possible ?

[gg0]

"avec naturellement r > R" (Jacknicklaus)

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

Le problème c'est que lorsque j'utilise la formule usuelle pour un tore ouvert semblable avec cette fois-ci r=9,9cm et R=10cm [...]

Curieux. Pour un tore ouvert à la limite r = R, on a la formule connue V = 2.pi².r³
Pour un tore croisé à la limite r = R, mon calcul donne aussi V = 2.pi².r³ (dans ce cas cos(theta) = 0 et theta = pi/2)

[Newtonien]

Bonjour,

Après visualisation des deux fonctions sur géogebra on as effectivement une image commune pour r=R
La fonction pour le volume du tore croisé que vous m'avez donné n'est défini dans les postifs qu'à partir de r>R ce qui est géométriquement cohérent contrairement à V = 2pi²r²R qui continue de donner des valeurs géométriquement absurdes à partir de r>R.

Je pense que vous avez bien répondu à ma question, merci !
La dernière chose que je me demande c'est s'il est mathématiquement légal de remplacer téta par abs(sin^(-1)(R/r) dans la fonction que vous m'avez donné (pour que les deux variables soient R et r) ?

[jacknicklaus]

Bonjour,

tu n'as pas besoin de valeur absolue, car l'image de [0,1] (ce qui est notre cas d'usage ici) par la fonction Arcsinus est le segment [0, pi/2]. Qui couvre bien les valeurs possibles de théta selon le choix de paramétrage effectué.

[invite51d17075]

@newtonien:

Bonjour, je trouve ceci : (avec naturellement r > R



où

si r<R , on trouve sin(theta)>1
donc je vois pas comment tu peux appliquer cette formule, quel que soit le résultat...

[jacknicklaus]

Newtonien a dit qu'il avait appliqué r<R à la formule du tore ouvert, et non pas à "ma" formule qui est valable dans le cas r >= R.

Le problème c'est que lorsque j'utilise la formule usuelle pour un tore ouvert [...]

Il voulait vérifier, ce qui est légitime, que les limites à droite et à gauche en r = R étaient les mêmes. Et c'est bien le cas (cf message #6), son message #3 étant clairement entaché d’une erreur de calcul numérique.

[Newtonien]

En effet j'ai dû commettre une erreur de calcule. Pourtant après avoir revérifié et décomposé le calcule en plusieurs étapes j'obtient toujours un rapport volumique d'approximativement 11 entre (r=11, R=10)
et (r=9,R=10) ce qui est énorme.

[jacknicklaus]

Pourtant après avoir revérifié et décomposé le calcule en plusieurs étapes [...]

tu fais erreur, visiblement :
Capture.JPG
Capture2.JPG