matrice déduite et comatrice

[invite3d2af144]

Bonjour à tous !
Alors voilà, j'ai un DM à faire en maths et je bloque un peu.
Voici l'énoncé :


I)2- Soit A=(a_i,j) appartenant à Mn(C), (B1,B2,...,Bn) appartenant à Cⁿ et B la matrice déduite de A en remplaçant la j-ème colonne de A par la colonne formée des coefficients B1,B2,...,Bn.
A_i,j désigne le cofacteur de l'élément a_i,j, c'est donc le coefficient de la i-ème ligne et j-ème colonne de la comatrice de A

a- Montrer que det(B)=(somme des k=1 à n de) B_k*A_k,j

b- En déduire l'égalité : pour tout l et j appartenant à N_n, (somme des k=1 à n de) a_k,l*A_k,j = (det(A))*Kronecker_l,j

c- Montrer de même que pour tout l et i appartenant à N_n, (somme des k=1 à n de) a_l,k*A_i,k=(det(A))*Kronecker_l,i

d- En déduire A*Com(A)^t=(det(A))I_n et (Com(A)^t)*A = (det(A))I_n

Je bloque déjà à la question a)... j'ai essayer de trouver un lien entre B et une comatrice de A mais je n'y arrive pas... B est la même matrice que A en changeant la j-ème colonne, mais je ne vois pas comment je pourrais calculer le déterminant de B (car j'ai fais plusieurs recherches sur internet mais je n'ai pas vu, ni en 1ere année, ni en 2eme année la formule générale sur le déterminant)
Et je tiens aussi à préciser que nous ne connaissons seulement la définition des comatrices, mais rien d'autre à leur sujet.

Je ne sais pas si c'était sensé nous aider mais en première question, on avais un exemple de matrice 3-3, on a du calculer son déterminant, le produit M*(Com(M))^t, déterminer son polynôme caractéristique, et calculer (I₃ + M)*(2I₃ - M)

Merci d'avance si vous pouvez me débloquer ^^
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