Géométrie différentielle et espace tangents

[gorgiel]

Bonjour,

Je ne comprends pas très bien la notion d'espace tangents en géométrie différentielle.

On dit que l'espace tangent en p à une variété M est le quotient de quotienté par la relation d'équivalence qui dit que deux courbes sont équivalentes si elles ont même tangente dans une carte locale. Donc, si je comprends bien la définition, l'espace tangents est un espace de courbe mais cela me paraît bizarre au niveau intuitif. Par exemple, si je prends la sphère et que je regarde son plan tangent au pôle nord, par cette définition, ce sont toute les courbes passant par le pôle nord mais intuitivement je me dis que ça doit être un plan horizontal. Est-ce que je comprends mal la définition? Y a t'il moyen de revenir à cette définition plus intuitive si la surface est plongée?

De plus, on dit que si j'ai un champ de vecteur X_p, alors, je peux le décomposer dans la base des . Je suis d'accord avec cette décomposition mais je ne comprends pas comment me représenter un champ de vecteur. Par exemple, si sur la sphère j'ai le champ de vecteur . Comment me le représenter? Je sais que je peux me le représenter dans les cartes par (1,0) mais comment le représenter sur la surface (mon soucis vient du fait que est un opérateur appliqué à rien)?

Merci d'avance.
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[Tryss2]

Si la surface est plongée, l'espace tangent peut être vu comme l'ensemble des vecteurs tangents des courbes sur la variété qui passent par p

Le problème c'est que si ta variété n'est pas plongée, il n'y a pas vraiment de notion de vecteur tangent. Donc on remplace "l'ensemble des vecteurs tangents des courbes sur la variété qui passent par p" par "l'ensemble des courbes sur la variété qui passent par p", et c'est la classe d'équivalence de courbes qui "joue le rôle" du vecteur tangent

[mach3]

Dans "Gravitation", Misner, Thorne et Wheeler expliquent cela en considérant l'ensemble des courbes paramétrées qui passent par un point de la variété.

Chacune de ces courbes permet de construire un vecteur du tangent. Ils procèdent ainsi (traduction approximative par moi-même) :

0. on considère une courbe paramétrée en .
1. on considère le déplacement de P lorsque varie de 0 à 1, ce n'est pas le vecteur tangent
2. on considère 2 fois le déplacement de P lorsque varie de 0 à 1/2, ce n'est pas le vecteur tangent
N. on considère N fois le déplacement de P lorsque varie de 0 à 1/N, ce n'est pas le vecteur tangent
. on considère la limite de ces déplacement quand , c'est le vecteur tangent

Ils discutent ensuite le fait que cette approche (due à Cartan), suggère trop l'idée d'un plongement et vont donc un cran plus loin en considérant une fonction f sur la variété et en l'étudiant le long de la courbe paramétrée.

0. on considère une courbe paramétrée en .
1. on calcule f(P(1))-f(P(0)), le changement de f le long de la courbe quand varie de 0 à 1
2. on calcule 2[f(P(1/2))-f(P(0))], 2 fois le changement de f le long de la courbe quand varie de 0 à 1/2
N. on calcule N[f(P(1/N))-f(P(0))], N fois le changement de f le long de la courbe quand varie de 0 à 1/N
. on considère la limite de ces changement de f quand , c'est
Le vecteur tangent n'est pas le changement de f lui-même, mais l'opérateur , qui appliquer à f donne

est la dérivée directionnelle de f suivant la courbe paramétrée considérée, la dérivée suivant le vecteur , et il y a autant de possibles que de courbes paramétrées qui passent en P.

Ensuite, si on a sur la variété à n dimensions n champs scalaires ( n'étant pas un exposant, mais un indice haut) indépendants, alors on peut décomposer la dérivée directionnelle de f :



et même l'opérateur de dérivée directionnelle :



Les forment alors une base de l'espace tangent, et les sont les coordonnées du vecteur dans cette base. Les sont des dérivées directionnelles spéciales vis-à-vis des champs scalaires indépendants choisis. Chacun est en correspondance avec une courbe paramétrée dont le paramètre est mais le long de laquelle les n-1 autres champs scalaires sont constants. Les sont les dérivées directionnelles des champs scalaires considérés le long de la courbe de paramètre .

En espérant que cela aide.

m@ch3