Bonjour,
Les études étant déjà fort loin, j'aurais besoin d'une piste, s'il-vous-plaît, pour résoudre informatiquement ce genre de problème :
Soit A une matrice de R
Soit C un vecteur de R
Je cherche X tel que
A * X = C tout en minimisant la somme des xi au carré.
Merci !
Bonsoir,
Résous le système A*transposée(A)*Y=C (avec un peu de chance, solution unique). Alors X=transposée(A)*Y fait l'affaire.
Il faudrait préciser ce que tu veux dire par "informatiquement". Il y a des librairies qui font cela.Envoyé par potissima
Par exemple, dans Python tu as numpy.linalg.lstsq.
Plus d'info ici : https://fr.wikibooks.org/wiki/Python...t_optimisation
Apparemment, cela trouve la solution avec la plus petite norme : https://stats.stackexchange.com/ques...rmined-systems
Merci pour vos réponses.
Malheureusement, la solution est rarement unique, d'où l'envie de minimiser la somme des xi^2
Merci pour la librairie Python.
Par informatiquement, je voulais dire via un algo quelconque.
La question sous-jacente étant : quand on se retrouve face à un tel problème, comment peut-on l'aborder ?
Sait-on si un peut y trouver une solution analytique, voire construite de façon séquentielle ou doit-on forcément passer un algo itératif ?
Merci encore
En suivant les liens, on trouve en général de la bibliographie. Par ex, celui donné sur stackexchange pointe sur le fait qu'il utilise la fonction dgelsd d'une librairie en fortran avec le lien et elle explique la méthode notamment de se ramener à un problème de "bidiagonal least squares" sur lequel on trouve des articles.
Ici, on peut voir le problème comme suit :
- Soit A est inversible, et dans ce cas la solution de l'équation AX=C est unique
- Soit A n'est pas inversible, et dans ce cas, les solutions de l'équation forment un sous-espace affine. Et alors, le point du sous espace affine qui minimise la somme en question est le projeté orthogonal de l'origine sur ce sous espace affine
Potissima, je crois que tu n'as pas compris ma réponse : je sais bien que tu t'intéresses au cas où la solution de A*X=C n'est pas unique ; typiquement, ta matrice A a moins de lignes que de colonnes (moins d'équations que d'inconnues). Mais le système que je te propose de résoudre, c'est le système A*transposée(A)*Y=C, d'inconnue le vecteur Y qui est a priori de plus petite taille que X ; ce système, lui, a autant d'inconnues que d'équations. C'est pour ça que j'affirme qu'il a une solution unique, sauf malchance.
Quoi qu'il en soit, si Y_0 est une solution de ce système, alors transposée(A)*Y_0 est bien la solution de plus petite norme du système de départ, c'est bien le projeté orthogonal de l'origine sur le sous-espace-affine des solutions de A*X=C. Je te laisse la démonstration de cette affirmation comme exercice.
Merci pour vos réponses très utiles. Je vais creuser tout cela.
Bien cordialement.
