Fonction f négligeable devant g en a

[jall2]

Bonjour

La définition de wikipédia de "f négligeable devant g en a" est la suivante:

Définition formelle lorsque la fonction g ne s'annule pas

Pour définir formellement cette propriété on considère le comportement du quotient f/g

Soit a ∈ R ∪ { + ∞ ; − ∞ }

Soient f et g deux fonctions de la variable réelle x. On suppose que g ne s'annule pas sur un voisinage de a.

On dit que f est négligeable devant g, ou que g est prépondérante devant f en a, et on note f(x) = o(g(x)) en a lorsque
lim f(x)/g(x) ⟶ 0 quand x ⟶ a

Supposer que g ne s'annule pas sur un voisinage de a, donc en a, est absurde. C'est justement le cas intéressant quand g s'annule en a.

Par exemple sin(x)-x = o(x²) en 0
La limite (sin(x) - x)/x² se calcule sans difficulté

L'article pourrait être amélioré en disant: On suppose que g ne s'annule pas sur un voisinage de a, sauf éventuellement en a

et encore, je me demande bien pourquoi on veut exclure les fonctions avec des passages à 0 sur tous les voisinages de a (genre x -> x.sin(1/x) en 0). Dans la définition de la limite, le x du appartient à l'ensemble de définition. Je ne vois pas ce qui empêcherait d'évaluer la limite.

Qu'en pensez-vous ?
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[gg0]

Bonjour.

Cette définition (*) est effectivement très proche de l'idée intuitive (quotient tend vers 0), très utilisée dans les calculs de limite. Mais il existe une définition bien plus efficace :
En a, f = o(g) si et seulement si il existe une fonction telle que sur un voisinage de a, et .
C'est la définition généralement adoptée dans le supérieur. Elle a comme conséquence la définition de Wikipédia. Par contre, c'est un peu surprenant que Wikipédia n'en parle pas.

Cordialement.

(*) modifiée comme tu le proposes.

[gg0]

A noter :

En général, pour des fonctions qui peuvent s'annuler une infinité de fois au voisinage de a, les négligeabilités sont des cas particuliers (comme par rapport à en 0).

Cordialement.

[jall2]

gg0

Par contre, c'est un peu surprenant que Wikipédia n'en parle pas

Si, c'est la note n°5

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

La page "fonction négligeable" donne la "bonne" définition :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_n%C3%A9gligeable

[jall2]

gg0: En général, pour des fonctions qui peuvent s'annuler une infinité de fois au voisinage de a, les négligeabilités sont des cas particuliers
(comme par rapport x².sin(1/x²) par rapport x.sin(1/x²) à en 0).

Oui, c'est clair maintenant. La définition avec f(x)=epsilon(x)g(x) dans un voisinage de a et epsilon qui tend vers 0 en a n'apporte presque rien de plus.

Je pensais que x² = o(x.sin(1/x)) en 0, mais c'est faux