Problème intégration

[tartinette97]

Bonjour à tous,

Je viens ici car j'ai une petite question concernant l'intégration. Je m'explique : j'ai une intégrale 4 singulière et j'utilise une quadrature de Gauss couplé à la valeur principale de Cauchy pour intégrer numériquement, sauf que voilà je me heurte à un soucis de facteur. Voici un petit exemple :
J'ai l'intégrale qui suit :


Je discrétise de façon identique selon y et t :


Je multiplie donc par le nombre d'intégration et j'obtiens bien 18. Mais lorsque je discrétise de façon non symétrique je n'obtiens pas le bon résultat :

J'ai essayé de changer le facteur en prenant en compte cette différence d’intervalle mais rien n'y fait. Faut il rajouter un poids devant chaque intégrale ? Comment faire pour avoir quelque chose qui donne un résultat convenable ?
Merci à tout ceux et celles qui passeront par là
-----

[Resartus]

Bonjour,
L'intégration est additive sur chacune des variables, c'est à dire que si c est compris entre a et b, l'intégration de a à b sera toujours égale à l'intégrale de a à c plus l'intégrale de c à b
Ici, vous pourriez faire l'opération de scission sur y et sur t, et cela vous donnera la somme de quatre intégrales
Mais on ne peut pas en dire plus : il n'y a aucun moyen, dans le cas général, de ramener cela à des intégrales sur des intervalles plus petits multipliées par des coefficients, comme vous avez essayé de le faire*
Le fait que vous avez obtenu le bon résultat dans votre premier calcul en conservant deux termes sur les quatre et un coefficient 2 tiré du chapeau est un pur hasard et n'est évidemment pas reproductible avec d'autres variables ou avec d'autres découpes

*La seule exception serait le cas d'une fonction constante, mais ce n'est pas le cas ici : ce sont des fonctions linéaires, dont l'intégration donne des fonctions du second degré

[tartinette97]

Il n'est donc pas possible de faire une opération de scission sur y et sur t à la fois (sur la même intégrale quadruple) ?
Merci de votre réponse en tout cas.

[Resartus]

Bonjour,
On peut le faire, mais en 4 morceaux différents qui s'additionnent. Ce qu'on ne peut pas faire, c'est supposer a priori que certains de ces morceaux auront la même valeur
Cela ne serait possible que pour des cas très particuliers (par exemple si la fonction est symétrique par rapport à certains des axes) mais ici cela ne marche pas

[A voir en vidéo sur Futura]

[tartinette97]

D'accord, je comprends bien. Le hic c'est au niveau coup de calcul. Si je coupe mes y et t en n intervalles j'aurais n*n intégrale... Vous savez s'il existe un technique de régularisation pour l'intégrale de la fonction qui suit (l'integration se fait sur un domaine fini) :

Je ne suis pas certaine que la valeur principale de Cauchy soit le meilleur des chemins...