Tenseur

invite3a78b579 · 20/12/2020, 00h17

Bonjour,

J'ai un exercice de débutant sur les tenseurs où je dois montrer que :
$\bar{\bar{i}}:\bar{\bar{i}}=3$ , sachant que : $\delta_{ij}\bar{e}_{i}\otimes\bar{e}_{j}$ .

La seule chose que j'ai commencé à faire, c'est écrire ça :

$\bar{\bar{i}}:\bar{\bar{i}}=(\delta_{ij}\bar{e}_{i}\otimes\bar{e}_{j}):(\delta_{ij}\bar{e}_{i}\otimes\bar{e}_{j})$ .

Mais ensuite que faire avec tout ça ?

Je suis vraiment perdue avec les tenseurs désolée...

**gg0** · 20/12/2020, 10h18

Bonjour.

Ta question est incomplète :
* En général, "sachant que" est suivi d'une phrase. Par ici ("sachant que 42")
* Tu ne dis pas ce que sont tes notations. Comme elles semblent sortir d'un document de physique que tu étudies, il aurait mieux valu rester dans le même fil de discussion, avec des gens qui connaissent ces notations et savent de quoi tu parles. En maths,
$\bar{\bar{i}}:\bar{\bar{i}}=1$
puisque : est le symbole de la division.

Cordialement.

**jacknicklaus** · 20/12/2020, 10h45

Bonjour,

un indice (!) pour "voir" quel est le calcul qui t'est demandé : quelle est la trace de la matrice identité en dimension 3 ?

invite3a78b579 · 20/12/2020, 12h41

Merci de vos réponses.

Je suis en école d'ingénieurs et je viens de prépa BCPST, donc je ne sais pas ce qu'est la trace.

Et le ":", c'est le produit doublement contracté, explicité en page 5 ici : https://www.editions-ellipses.fr/PDF...82_extrait.pdf

Enfin, il y avait un petit oubli dans mon message initial, il faut lire : "sachant que i (avec les deux barres au dessus) = symbole de kronecker ....".

Avec ces infos supplémentaires, pourriez-vous m'aider svp ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**gg0** · 20/12/2020, 12h44

Alors tu n'as plus qu'à appliquer la définition du produit doublement contracté.

Cordialement.

NB : Avec un énoncé complet, ça commençait à être un énoncé mathématique.

invite3a78b579 · 20/12/2020, 12h56

Mais le problème est que je n'arrive pas à appliquer cette définition, comment continuer ce que j'ai écrit dans mon message d'hier soir vers minuit ?

**gg0** · 20/12/2020, 14h00

Bon !

je n'ai jamais fait de calcul tensoriel (sauf sous une forme ancienne et "à la physicienne"), mais j'ai commencé par décoder ce qu'est $\bar{\bar{i}}$ . As-tu compris quelles sont ses composantes ?
Puis j'aurais appliqué la formule 1.29 de ton document. Puisque c'est la définition !!

Bon travail !

invite3a78b579 · 20/12/2020, 19h34

merci mais je n'y arrive pas...

En fait comment puis-je continuer le calcul commencé dans mon message de 0h17 ?
comment faire le lien avec ce qui est écrit dans l'URL que je vous ai donnée sur la double contraction ?

**gg0** · 20/12/2020, 19h52

La première chose à faire est de comprendre de quoi il s'agit. Donc tu étudies ton cours, tu regarde ce qu'est un tenseur d'ordre 2 (c'est aussi donné dans le document que tu cites, même s'il va un peu vite; tu peux trouver mieux sur Internet), quelles sont ses composantes, tu regardes ce que signifie pour ton prof \bar{e_i}, puis à quoi correspond ce produit tensoriel. Pour comprendre comment est fait ce tenseur d'ordre 2 \bar{\bar{i}}. étape préalable à l'application de la formule.

Je ne fais que rappeler comment on travaille dans un nouveau cours ... à toi de faire ...

invite3a78b579 · 21/12/2020, 00h58

J'ai donc : $\bar{\bar{i}}:\bar{\bar{i}}=\delta_{ij}\delta_{ji}=\delta_{11}\delta_{11}+\delta_{12}\delta_{21}+\delta_{13}\delta_{31}+\delta_{21}\delta_{12}+\delta_{22}\delta_{22}+\delta_{23}\delta_{32}+\delta_{31}\delta_{13}+\delta_{32}\delta_{23}+\delta_{33}\delta_{33}=\delta_{11}\delta_{11}+\delta_{22}\delta_{22}+\delta_{33}\delta_{33}=1*1+1*1+1*1=3$ .

Est-ce correct comme démonstration ?

**gg0** · 21/12/2020, 08h42

Bonjour.

Ça me semble être ce que j'aurais fait moi-même, mais je le redis, je n'ai pas étudié en maths le calcul tensoriel. Jacknicklaus pourra peut-être confirmer.

Cordialement

**jacknicklaus** · 21/12/2020, 10h20

Envoyé par srvo2021

J'ai donc : $\bar{\bar{i}}:\bar{\bar{i}}=\delta_{ij}\delta_{ji}=\delta_{11}\delta_{11}+\delta_{12}\delta_{21}+\delta_{13}\delta_{31}+\delta_{21}\delta_{12}+\delta_{22}\delta_{22}+\delta_{23}\delta_{32}+\delta_{31}\delta_{13}+\delta_{32}\delta_{23}+\delta_{33}\delta_{33}=\delta_{11}\delta_{11}+\delta_{22}\delta_{22}+\delta_{33}\delta_{33}=1*1+1*1+1*1=3$ .

Est-ce correct comme démonstration ?

c'est correct. Mais tu peux être plus rapide en effectuant la sommation $\delta_{ij}\delta_{ji}$ en imposant i = j (car sinon le delta kronecker est nul), ce qui donne $\delta_{11}\delta_{11} + \delta_{22}\delta_{22}+\delta_{33}\delta_{33} = 3$

invite3a78b579 · 21/12/2020, 13h10

D'accord merci.

Je mets la suite du TD ici : https://www.cjoint.com/data/JLvlVN2OdCE_TD-Tenseurs.pdf

Je cherche maintenant à démontrer (4.15). Quelle relation puis-je utiliser dans la page 1 pour démontrer (4.15) ?
Ici la difficulté est qu'on a un tenseur d'ordre 2 doublement contracté avec un tenseur d'ordre 4 !

**prch** · 21/12/2020, 14h56

Bonjour
et combien de forum vont devoir répondre à cette intéressante question ? https://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=75821

**albanxiii** · 21/12/2020, 15h02

En plus un copier-coller pour les réponses aux messages qui précèdent

Exercice de physique appliquée : estimer le gâchis énergétique lié au stockage sur deux serveurs différents du même message posté par un étudiant fainéant. En déduire la quantité de CO2 supplémentaire émise pour rien et l'augmentation de température moyenne terrestre résultante.

invite3a78b579 · 21/12/2020, 15h04

Pardon ? Un étudiant fainéant ?

Je ne comprends pas l'exercice, c'est tout ! Je vous rappelle que c'est moi qui ai répondu à la première question, non ?

Sinon vous ne voulez pas m'aider plutôt ?

invite3a78b579 · 21/12/2020, 17h11

Je donne une proposition de réponse pour la (4.15) :

Démontrons que $\bar{\bar{i}} : \mathbb{J} = \mathbb{J} : \bar{\bar{i}} = \bar{\bar{i}}$

Etape 1 :
$\bar{\bar{i}} : \mathbb{J} = \delta _{ij} \times \frac{1}{3} \delta _{ji}\delta _{kl}=\frac{1}{3}\delta _{ij}\delta _{ji}\delta _{kl}=\frac{1}{3} \times 3 \times \delta _{kl} = \delta_{kl} = \bar{\bar{i}}$

Etape 2 :
$\mathbb{J} : \bar{\bar{i}} = \frac{1}{3} \delta _{ij} \delta _{kl}\delta _{lk}=\frac{1}{3}\delta _{ij}\times 3=\delta _{ij} = \bar{\bar{i}}$

Est-ce que tout ce que j'ai écrit est correct ?
Surtout, faut-il justifier que " $\delta_{kl} = \bar{\bar{i}}$ " (dans la toute fin de l'étape 1) ?

**albanxiii** · 21/12/2020, 18h46

Envoyé par srvo2021

Pardon ? Un étudiant fainéant ?

Je ne comprends pas l'exercice, c'est tout ! Je vous rappelle que c'est moi qui ai répondu à la première question, non ?

Sinon vous ne voulez pas m'aider plutôt ?

Il est parfaitement malpoli de poser ici exactement les mêmes questions que là bas. C'est un manque de respect pour les personnes qui prennent le temps de vous répondre. C'est comme si vous demandiez une explication à quelqu'un en réel, la personne commence à vous répondre et vous vous la laissez parler dans le vide et allez reposer la même question à une autre personne...

Pour votre exercice, il faut vous familiariser avec la notation d'Einstein, et les propriétés du delta de Kroneker. C'est la seule difficulté, l'énoncé coule de source. Et votre calcul du message #10 est correct.

invite3a78b579 · 21/12/2020, 18h53

Et ce que j'ai écrit dans le message 17 c'est correct ou pas ?

**albanxiii** · 22/12/2020, 07h35

Re,

Je trouve qu'il y a une ambiguïté dans le document que vous avez posté au message #13.

Le produit contracté ":" est défini entre deux tenseurs de même ordre uniquement. Et là on vous demande entre un tenseur d'ordre 4 et un d'ordre 2. Donc, si j’interprète de la façon qui me semble la plus logique (attention, ça n'est pas forcément la façon qui semble la plus logique à quelqu'un d'autre), j'arrive aux mêmes formules que vous.

Attention aux notations, ce que vous calculez ce sont les composantes des produits, pas les produits eux-mêmes. Il faudrait ajouter les vecteurs de base pour montrer que vous avez bien compris. Ou bien indiquer les indices des composantes que vous calculez.

Par exemple : $\mathbb{J}:\bar{\bar{i}} = J_{ijlk} \delta_{lk} e_{i}\otimes e_{j}$ ou bien $(\mathbb{J}:\bar{\bar{i}})_{ij} = J_{ijlk} \delta_{lk}$ .

Avec la pratique cela viendra.

Envoyé par srvo2021

Surtout, faut-il justifier que " $\delta_{kl} = \bar{\bar{i}}$ " (dans la toute fin de l'étape 1) ?

C'est justement le sens de ma remarque, en écrivant les vecteurs de base, vous trouveriez $\delta_{kl}e_{k}\otimes e_{l}$ , et là pas d’ambiguïté (les indices sont muets, donc c'est la même chose que $\delta_{ij}e_{i}\otimes e_{j}$ ).

ps : tout ceci c'est quand même du calcul tensoriel de physicien. J'hésite à transférer la discussion en physique, j'ai surtout peur qu'un mathématicien qui lirait ce fil fasse une attaque

invite3a78b579 · 22/12/2020, 11h30

Bonjour,

merci de votre réponse.

Pour la démonstration suivante, voici ce que j'ai commencé à écrire :
$\bar{\bar{i}} : \mathbb{I} = \delta _{ij} : \mathbb{I}_{jikl}= \delta _{ij} \times \frac{1}{2} (\delta _{jk}\delta _{il}+\delta _{jl}\delta _{ik})$

Est-ce que ce début est correct ?
Comment terminer et montrer que c'est égal à $\bar{\bar{i}}$ ?

Je suis vraiment coincé... merci

invite3a78b579 · 23/12/2020, 00h35

up... Personne ne peut m'aider ?

**albanxiii** · 23/12/2020, 07h12

Re,

Oui, le début est correct. Il faut ensuite développer et évaluer chaque terme du produit. A la fin, il ne doit rester que les indices k et l, puisque i et j qui apparaissent 2 fois sont des indices muets de sommation.
En fait c'est aussi simple que les précédents

azizovsky · 23/12/2020, 11h45

Si j'ai compris la notation :

$\underline{\underline{i}}:\mathbb{I}=\frac{1}{2}\delta_{ij}\underline{e}_{i}\otime \underline{e}_{j}\,: \,\frac{1}{2}(\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk})\underline{e}_{i}\otime \underline{e}_{j}\otime \underline{e}_{k}\otime \underline{e}_{l}$

$...=\frac{1}{2}\delta_{ij}(\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk})(\underline{e}_{i}. \underline{e}_{j})(\underline{e}_{j}. \underline{e}_{i})\underline{e}_{k}\otime \underline{e}_{l}$

$...=\frac{1}{2}\delta_{ij}(\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk}) \delta_{ij}\delta_{ji}\,\underline{e}_{k}\otime \underline{e}_{l}$

ce qui reste quant $i=j$

$...=\frac{1}{2}\delta_{ii}(\delta_{ik}\delta_{il}+\delta_{il}\delta_{ik})\,\underline{e}_{k}\otime \underline{e}_{l}$

ce qui reste quand $i=k$ ??

$...=\frac{1}{2}\delta_{kk}(\delta_{kk}\delta_{kl}+\delta_{kl}\delta_{kk})\,\underline{e}_{k}\otime \underline{e}_{l}$

$...=\frac{1}{2}(\delta_{kl}+\delta_{kl})\,\underline{e}_{k}\otime \underline{e}_{l}$

changement des indices ...

$...=\delta_{ij}\,\underline{e}_{i}\otime \underline{e}_{ij}=\underline{\underline{i}}$

azizovsky · 23/12/2020, 14h10

Chanement d'indice (i,j) par (l,k) dès le départ :

$\underline{\underline{i}}:\mathbb{I}=\frac{1}{2}\delta_{kl}\,\underline{e}_{k}\otime \underline{e}_{l}\,: \,\frac{1}{2}(\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk})\underline{e}_{i}\otime \underline{e}_{j}\otime \underline{e}_{k}\otime \underline{e}_{l}$

$...=\frac{1}{2}\delta_{kl}(\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk})(\underline{e}_{k}. \underline{e}_{j})(\underline{e}_{l}. \underline{e}_{i})\underline{e}_{k}\otime \underline{e}_{l}$

$...=\frac{1}{2}\delta_{kl}(\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk}) \delta_{kj}\delta_{li}\,\underline{e}_{k}\otime \underline{e}_{l}$

ce qui donne avec $i=l\;,j=k$

$...=\frac{1}{2}\delta_{kl}(\delta_{ij}\delta_{ji}+1)\,\underline{e}_{k}\otime \underline{e}_{l}$

ce qui reste quand $i=j$

$...=\delta_{kl}\,\underline{e}_{k}\otime \underline{e}_{l}=\underline{\underline{i}}$

un peu de gymnastique guidée par le résultat ...

azizovsky · 23/12/2020, 15h58

pfff: j'ai appliqué les régles algébriques à l'aveugle et à la lettre ... , j'ai oublié que j'ai une simplification (k=i, j=l):

$\underline{\underline{i}}:\mathbb{I}=\frac{1}{2}\delta_{ij}\underline{e}_{i}\otime \underline{e}_{j}\,: \,\frac{1}{2}(\delta_{ii}\delta_{jj}+\delta_{ij}\delta_{ji})\underline{e}_{i}\otime \underline{e}_{j}\otime \underline{e}_{i}\otime \underline{e}_{j}$

$...=\frac{1}{2}\delta_{ij}(\delta_{ii}\delta_{jj}+\delta_{ij}\delta_{ji})(\underline{e}_{i}. \underline{e}_{j})(\underline{e}_{j}. \underline{e}_{i})\underline{e}_{i}\otime \underline{e}_{j}$

$...=\frac{1}{2}\delta_{ij}(\delta_{ii}\delta_{jj}+\delta_{ij}\delta_{ji}) \delta_{ij}\delta_{ji}\,\underline{e}_{i}\otime \underline{e}_{j}$

ce qui reste quant $i=j$

$...=\frac{1}{2}\delta_{ij}(\delta_{ii}\delta_{jj}+\delta_{ii}\delta_{jj})\,\underline{e}_{i}\otime \underline{e}_{j}$

$...=\delta_{ij}\,\underline{e}_{i}\otime \underline{e}_{j}=\underline{\underline{i}}$

le changement (remplacement) d'indice n'affecte que le deuxième terme ..., par exemple :

$\vec{u}.\vec{v}=(u_{i}\vec{e}__{i}).(v_{j}\vec{e}__{j})$

$...= u_{i}v_{j}(\vec{e}__{i}.\vec{e}__{j})$
$\vec{u}.\vec{v}=u_{i}v_{j}\delta_{ij}$
ce qui reste quand : $i=j$
$\vec{u}.\vec{v}=u_{i}v_{i}$

invite3a78b579 · 24/12/2020, 15h03

Merci du fond du coeur de m'avoir répondu.

Mais du coup, quel message dois-je prendre en compte ? Quel message est exact ?

De plus, pourquoi aurait-on le droit de faire un changement d'indice ?

Ce qui m'embête, c'est qu'il n'y a rien qui ressemble à mon message #21...

azizovsky · 24/12/2020, 20h18

Le dernier, une démonstration doit être claire . (pas de faux semblant, pas de raccourcis, en tous cas ce qu'il me parait ... )

un lien qui a un lien avec tes cours.

azizovsky · 24/12/2020, 20h30

la phrase : pas de raccourcis, pas de faux semblant, la ''devise'' d'Alexander Grothendieck : Hors séries de Science et vie 1998, si ma mémoire ...

.

azizovsky · 24/12/2020, 20h35

Le lien ...............

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